Принцип отражения в множестве натуральных чисел план

Основная теорема арифметики

Теорема:

Каждое натуральное число n>1n>1 представляется в виде n=p1⋯pkn=p1⋯pk, где p1,…,pkp1,…,pk — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Доказательство:

Существование. Пусть nn — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если nn составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, nn тоже является произведением простых чисел. Противоречие. Единственность. Пусть nn — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть pp — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если pp входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на pp и получить два разных разложения числа npnp, что невозможно. А если pp не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на pp, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенст.

Принцип индукции, существование наименьшего числа в любом множестве натуральных чисел
Индукция
Формулировка принципа математической индукции:
Пусть имеется последовательность утверждений A1,A2,A3,…A1,A2,A3,… И пусть первое утверждение A1A1 верно и мы умеем доказать, что из верности утверждения AkAk следует верность Ak+1Ak+1. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.
Верность этого метода доказательства вытекает из так называемой аксиомы индукции, пятой из аксиом Пеано, которые определяют натуральные числа. Рассмотрение аксиом Пеано выходит за рамки этой статьи.
Также существует принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:
Пусть имеется последовательность утверждений A1,A2,A3,…A1,A2,A3,…. И пусть мы умеем доказать, что из верности утверждения A1,A2,A3,…,AkA1,A2,A3,…,Ak следует верность Ak+1Ak+1. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.