Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar quyidagi xossalarga ega
1.Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning limiti yagonadir.
2. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan.
Eslatma. Chegaralangan ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lmasligi mumkin. 3.
n
x
va
n
y
soli ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, mos ravishda
a
va
b
limitlarga ega bo’lsa, ularning
algebraik yig’indisi ham yaqinlashuvchi bo’lib,
b
a
limitga ega bo’ladi.
4.
n
x
va
n
y
soli ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, mos ravishda
a
va
b
limitlarga
ega bo’lsa, ularning ko’paytmasi ham yaqinlashuvchi bo’lib, limiti
b
a
ga teng bo’ladi.
5.
n
x
va
n
y
soli ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, mos ravishda
a
va
b
limitlarga
ega bo’lsa, ularning nisbati ham maxrajning limiti noldan farqli bo’lganda, yaqinlashuvchi
bo’lib, uning limiti
b
a
ga teng bo’ladi.
16-ma‘ruza mashg‘ulotlari “Funksiya haqida asosiy tushunchalar” mavzu
bo‘yicha tayanch konspekt
Reja
316
1. O’zgarmas va o’zgaruvchi miqdorlar.
2. Funksiya tushunchasi.
3. Funksiyaning berilish usullari.
4. Funksiyaning ayrim hollari
5. Funksiyaning limit iva uning asosiy xossalari.
6. Aniqmasliklar va ularni ochish.
1. O’zgarmas va o’zgaruvchi miqdorlar. Qaralayotgan jarayonda bir xil son qiymatlarini
qabul qiladigan miqdorlarga o’zgarmas miqdorlar deyiladi. Masalan, qanday radiusli aylana
olmaylik, uning uzunligining deametriga nisbati bir xil
sondan iborat bo’ladi. Bu holda
nisbat o’zgarmas miqdordir.
Qaralayotgan jarayonda har xil son qiymatlari qabul qiladigan miqdorlarga o’zgaruvchi
miqdorlar deyiladi. Masalan, havo harorati (temperaturasi), vaqt, harakatning tezligi o’zgaruvchi
miqdorlardir. Bunday misollarni ko’plab keltirish mumkin. Hamma o’zgaruvchi miqdorlarni
birdaniga o’rganib bo’lmaydi. Endi ikkita o’zgaruvchi miqdorlar orasidagi bog’lanishni
qaraymiz.
2. Funksiya tushunchasi. Funksiya tushunchasi matematikaning eng asosiy tushunchalaridan
biri bo’lib, uning yordamida tabiat va jamiyatdagi ko’p jarayon va hodisalar modellashtiriladi.
Matematik tahlilda elementlari haqiqiy sonlardan iborat, bo’lgan to’plamlarni qaraymiz.
X
va
Y
lar haqiqiy sonlar to’plami bo’lsin.
X
x
to’plamda,
Y
y
to’plamda o’zgarsin.
Ta’rif.
X
x
har bir
x
ga biror qoida yoki qonun bo’yicha
Y
y
dan bitta
y
mos
qo’yilsa,
X
to’plamda funksiya berilgan (aniqlangan) deb ataladi va u
)
( x
f
y
simvol bilan belgilanadi. Ayrim hollarda
xf
y
ham deb belgilanadiki, bunda kompyuterda
oldin
x
qiymati olinib, keyin hisoblanadigan simvol olinadi. Bunda
X
to’plamga funksiyaning
aniqlanish sohasi,
Y
to’plamga o’zgarish sohasi yoki qiymatlar to’plami deyiladi. Odatda
funksiya aniqlanish sohasini
D
, qiymatlar to’plamini
E
bilan belgilanadi.
3. Funksiyaning berilish usullari. Funksiya ta’rifida keltirilgan
x
o’zgaruvchining
har bir qiymatiga mos qo’yiladigan
y
ni aniqlovchi qoida yoki qonun turlicha bo’lishi mumkin.
Demak, funksiyaning berilishi ham turlichadir. Funksiya analitik, jadval va grafik hamda
kompyuter usullari yordamida berilishi mumkin.
4. Funksiyaning ayrim hollari
1. Oshkor va oshkormas funksiyalar. Funksiya
)
( x
f
y
ko’rinishda, ya’ni
y
ga
nisbatan yechilgan bo’lsa, unga oshkor funksiya deyiladi. Funksiya
0
)
,
(
y
x
F
ko’rinishda
berilgan bo’lsa, ya’ni
y
ga nisbatan yechilmagan bo’lsa, oshkormas funksiya ko’rinishda
berilgan deyiladi. 2. Murakkab funksiya.
)
( u
f
y
bo’lib,
)
( x
u
funksiya berilgan
bo’lsa,
y
funksiyaga
)
( x
funksiyaning funksiyasi yoki
y
ga
x
ning murakkab funksiyasi
deyiladi. 3. Teskari funksiya.
)
( x
f
y
funksiya berilgan bo’lsin.
y
funksiyaning qiymatlar
to’plamidagi har bir qiymatiga
x
argumentning aniqlanish sohasidan bitta qiymati mos
qo’yilgan bo’lsa, berilgan funksiyaga teskari
)
( y
d
x
funksiya berilgan bo’ladi va
)
(
)
(
d
E
f
D
va
)
(
)
(
d
D
f
E
har bir
)
(
)
(
0
d
E
f
D
x
va
)
(
)
(
0
d
D
f
E
y
bo’lib.
)
(
0
0
x
f
y
faqat
)
(
0
0
y
d
x
uchun bajariladi.
5. Funksiyaning limiti va uning asosiy xossalari
1. 1-ta’rif.
)
( x
f
y
funksiya
a
x
nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lib,
istalgan
0
son uchun shunday
0
son mavjud bo’lsaki,
a
x
tengsizlikni
317
qanoatlantiradigan barcha
a
x
nuqtalar uchun
A
x
f
)
(
tengsizlik bajarilsa,
A
chekli son
)
( x
f
y
funksiyaning
a
x
nuqtadagi limiti deb ataladi va quyidagicha yoziladi
A
x
f
a
x
i
A
x
f
a
x
)
(
)
(
lim
bo’ladi. (1)
Funksiya limitining ta’rifidan kelib chiqadiki
a
x
cheksiz kichik bo’lganda
A
x
f
)
(
ham cheksiz kichik bo’ladi.
2-ta’rif.
)
( x
f
y
funksiya,
x
ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib,
istalgan
0
son uchun shunday,
0
N
mavjud bo’lsaki,
N
x
tengsizlikni
qanoatlantiruvchi barcha
x
lar uchun
A
x
f
)
(
tengsizlik bajarilsa, o’zgarmas
A
son,
)
( x
f
y
funksiyaning
x
dagi limiti deyiladi, va
A
x
f
x
)
(
lim
(2)
bilan belgilanadi.
1-ta’rifda faqat
a
x
yoki
a
x
bo’lgan qiymatlar qaralsa, funksiyaning chap yoki
o’ng limit tushunchasi kelib chiqadi va
)
(
lim
0
x
f
a
x
,
)
(
lim
0
x
f
a
x
(3)
bilan begilanadi.
3-ta’rif. Limiti
0
A
bo’lgan funksiyaga cheksiz kichik funksiya (ch. kich. f.)
deyiladi.
4-ta’rif. Limiti
A
yoki
A
bo’lgan funksiyalarga cheksiz katta funksiya
(ch. kat. f.) deyiladi va
)
(
lim
x
f
a
x
,
)
(
lim
x
f
a
x
(4)
simvollar bilan belgilanadi.
Limitning ta’rifidan kelib chiqadiki
C
y
o’zgarmas miqdorning limiti o’ziga teng.
Funksiya limitining asosiy xossalari:
1) yig’indining limiti. Chekli sondagi funksiyalar algebraik yig’indisining limiti,
qo’shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig’indisiga teng, ya’ni
)
(
1
x
f
va
)
(
2
x
f
funksiyalarning
a
x
dagi limitlari mavjud bo’lsa,
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
2
1
2
1
x
f
x
f
x
f
x
f
a
x
a
x
a
x
(5)
2) chekli sondagi funksiyalar ko’paytmasining limiti funksiyalar limitlarining
ko’paytmasiga teng, ya’ni
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
2
1
2
1
x
f
x
f
x
f
x
f
a
x
a
x
a
x
(6)
Natija: O’zgarmas ko’paytuvchini limit belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya’ni,
)
(
lim
)
(
lim
1
1
x
f
c
x
cf
a
x
a
x
(7)
3) Ikkita funksiya nisbatining limiti, maxrajning limiti n ldan farqli bo’lsa, bu
funksiyalar limitlarining nisbatiga teng, ya’ni
0
lim
2
x
f
a
x
bo’lsa,
x
f
x
f
x
f
x
f
a
x
a
x
a
x
2
1
2
1
lim
lim
)
(
)
(
lim
(8)
bo’ladi.
Limitlarni hisoblashda quyidagi limitlardan foydalaniladi:
318
1
sin
lim
x
x
a
x
;
(9)
...
71828
,
2
,
)
1
(
lim
1
1
lim
/
1
0
e
e
x
x
x
x
(10)
Bu limitlarga mos ravishda birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar deyiladi.
6. Aniqmasliklar va ularni ochish
1.Aniqmasliklar.
)
(
)
(
lim
x
x
f
a
x
limitni hisoblashda
)
(
),
(
x
x
f
funksiyalar
ch.kich.f. lar bo’lsa,
)
(
/
)
(
x
x
f
nisbatga
a
x
da (0/0) ko’rinishdagi aniqmaslik
deyiladi.
)
(
),
(
x
x
f
funksiyalar ch.kat.f. lar bo’lsa,
)
(
/
)
(
x
x
f
nisbatga
a
x
da
)
/
(
ko’rinishidagi
aniqmaslik deyiladi. Xuddi shunga o’xshash
0
0
,
0
,
0
,
aniqmasliklar
)
(
1
)
(
lim
)
(
)
(
lim
,
)
(
)
(
lim
x
a
x
a
x
a
x
x
f
x
x
f
x
x
f
limitlarni hisoblashda kelib chiqadi. Bunday hollarda limitlarni hisoblashga aniqmasliklarni
ochish deyiladi.
)
0
/
0
(
va (
/
) ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochishda quyidagi xossadan foydalaniladi:
)
( x
f
va
)
( x
funksiyalar
a
x
nuqtaning biror atrofidagi hamma nuqtalarda o’zaro teng
bo’lsa, ularning
a
x
dagi limiti ham teng bo’ladi.
17-ma‘ruza mashg‘ulotlari “Funksiyaning uzluksizligi va uzilishi” mavzu bo‘yicha tayanch
konspekt
Reja
1. Funksiya orttirmasi.
2. Funksiya uzluksizligi ta’riflari.
3. Funksiyaning uzilish va uning turlari.
4. Iqtisodiyotda qo’llaniladiga ayrim asosiy funksiyalar.
1. Funksiya orttirmasi .
Uzluksizlik matematik tahlilning asosiy tushunchalaridan biridir. Matematika uzluksiz
funksiya tushunchasiga birinchi navbatda turli harakat qonunlarini o’rganish natijasida keldi.
Fazo va vaqt uzluksiz, masalan: harakatdagi nuqtaning bosib o’tgan yo’li
s
ning
t
vaqtga
bog’lanishini ifodalovchi
)
( t
f
s
qonun uzluksiz funksiyaga misol bo’ladi.
Qattiq jismlar, suyuqlik va gazlardagi holatlar hamda jarayonlar uzluksiz funksiyalar
yordamida tavsiflanadi. Bunday uzluksiz jarayonlar iqtisodiyot modellarida ham mavjud.
Bunday jarayonlar mexanika fizika va bir qancha maxsus fanlarda muayyan holda o’rganiladi.
Matematikada uzluksiz jarayonni umumiy holda o’rganamiz.
Funksiya orttirmasi.
)
( x
f
y
funksiya biror
b
a ,
kesmada aniqlangan va
0
x
shu kesmadagi biror nuqta bo’lsin.
x
argumentning keyingi qiymati bo’lsa,
x
x
x
0
ga
argument orttirmasi deyiladi (1-chizma).
319
1-chizma 2-chizma
)
(
)
(
0
x
f
x
f
funksiyaning qiymatlari orasidagi farqqa funksiya orttirmasi deyiladi va
odatda
y
bilan
belgilanadi.
)
(
)
(
0
x
f
x
f
y
yoki
)
(
)
(
0
0
x
f
x
x
f
y
.
1-chizmadan ko’rinadiki
0
x
da
0
y
bo’ladi.
2. Funksiya uzluksizligi ta’riflari. 1-ta’rif.
)
( x
f
y
funksiya
0
x
nuqtada va
uning biror atrofida aniqlangan bo’lib, argumentning
0
x
nuqtadagi cheksiz kichik orttirmasiga
funksiyaning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelsa, ya’ni
0
)
(
)
(
lim
lim
0
0
0
0
x
f
x
x
f
y
x
x
bo’lsa,
)
( x
f
y
funksiya
0
x
nuqtada uzluksiz deyiladi (2-chizma). Bu ta’rifga qo’yidagi
ta’rif ham teng kuchlidir.
2-ta’rif.
0
x
nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan
)
( x
f
y
funksiya shu
nuqtada chekli limitga ega bo’lib, bu limit funksiyaning
0
x
nuqtadagi qiymatiga teng, ya’ni
)
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
bo’lsa,
)
( x
f
y
funksiya
0
x
nuqtada uzluksiz deyiladi.
Funksiya uzluksizligi ta’riflari quyidagi shartlarni o’z ichiga oladi:
1)
funksiya
0
x
nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan;
2) funksiyaning
0
x
nuqtadagi chap va o’ng limitlari
)
(
lim
),
(
lim
0
0
0
0
x
f
x
f
x
x
x
x
mavjud;
3)
0
x nuqtada chap va o’ng limitlar o’zaro teng, ya’ni
);
(
lim
)
(
lim
0
0
0
0
x
f
x
f
x
x
x
x
4)
chap va o’ng limitlar funksiyaning
0
x
nuqtadagi qiymatiga teng, ya’ni
)
(
)
(
lim
)
(
lim
0
0
0
0
0
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x
Funksiya oraliqning hamma nuqtalarida uzluksiz bo’lsa, u shu oraliqda uzluksiz
deyiladi.
Elementar funksiyalarning hammasi o’zlarining aniqlanish sohalarida uzluksizdir.
)
( x
f
va
)
( x
funksiyalar
0
x
nuqtada uzluksiz bo’lsa:
1)
);
(
)
(
x
x
f
2)
)
(
)
(
x
x
f
; 3)
)
(
/
)
(
x
x
f
0
)
(
(
0
x
bo’lganda) lar
ham
0
x
nuqtada uzluksiz bo’ladi.
y
x
y
0
y
0
x
x
a
b
)
( x
f
y
x
y
y
x
)
( x
f
y
y
0
x
x
x
0
x
)
(
0
x
f
)
(
0
x
x
f
O
O
320
Kesmada uzluksiz funksiyaning xossalari.
)
( x
f
funksiya
b
a ,
kesmada
uzluksiz bo’lsa, u: 1) shu kesmada chegaralangan; 2) shu kesmada eng kichik va eng katta
qiymatlarga erishadi; 3) kesmaning uchlarida turli ishorali qiymatlar qabul qilsa, shu kesmaning
biror nuqtasida 0 ga teng bo’ladi; 4)
)
( a
f
va
)
( b
f
orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi.
)
( z
f
y
va
)
( x
z
funksiyalar o’z argumentlarining uzluksiz funksiyalari
bo’lsa,
)
( x
f
y
murakkab funksiya ham uzluksiz bo’ladi.
)
( x
f
y
uzluksiz bo’lib,
)
(
x
teskari funksiya mavjud bo’lsa, u ham uzluksizdir.
3. Funksiyaning uzilish va uning turlari
Ta’rif.
)
( x
f
y
funksiya
0
x
nuqtaning biror atrofida aniqlangan, lekin bu nuqtaning
o’zida uzluksizlik shartlaridan birortasi bajarilmasa, funksiya
0
x
nuqtada uzilishga ega
deyiladi.
)
( x
f
funksiya uchun
)
(
lim
0
0
x
f
x
x
,
)
(
lim
0
0
x
f
x
x
chekli limitlar mavjud bo’lsa, chap va o’ng limitlar
hamda
)
(
0
x
f
sonlar o’zaro teng bo’lmasa,
0
x
nuqta 1-tur uzilish nuqtasi deyiladi.
Xususan,
)
(
)
(
lim
)
(
lim
0
0
0
0
0
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x
bo’lsa
0
x
bartaraf qilinadigan
(yo’qotiladigan) uzilish nuqtasi deyiladi.
1-tur uzilish nuqtasi bo’lmagan uzilish nuqtalariga 2-tur uzilish nuqtalari deyiladi.
Bunday nuqtalarda, aqalli bitta tomonli limit qiymati cheksiz yoki mavjud bo’lmaydi.
Do'stlaringiz bilan baham: |