Guruh talabasi Nasriddinov Xorunboyning Diferensial tenglamalar fanidan

Misol 2. bo’lsa

Funksiyalar ichiziqli bog’lagan bo’ladi, chunki _.
Misol 3. funksiyalar oraliqda chiziqli bog’lanmagan.
Haqiqatan ham faraz etaylik ular chiziqli bog’langan bo’lsin.U holda hammasi birdaniga nolga teng bo’lmagan shunday sonlari mavjudki
(3)
ayniyat ning hamma qiymatlarida bajariladi.
Lekin bu oxirgi tenglik chi darajali algebraik tenglamadir. Ma’lumki bu tenglama faqat ning ta qiymatida nolga teng bo’ladi .
Bu qarama-qarshilik ko’rsatadiki, berilgan funksiyalar oraliqda chiziqli bog’lanmagan.
ga nisbatan chi tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo’lgan funksiyalardan tuzulgan
(4)
determinantga Vronskiy determinanti deyiladi. (Vronskiy Yuzef 1778-1853 polyak)
Teorema 3. Agar funksiyalar oraliqda chiziqli bog’liq bo’lsalar,u holda bu oraliqda ularning Vronskiy determinanti aynan nolga teng bo’ladi.Ya’ni, _.
Isbot. Shartga asosan funksiyalar oralig’ida chiziqli boglangan bo’lganligi sababli hammasi nolga teng bo’lmagan shunday sonlari mavjudki ning hamma qiymatlari uchun

tenglik bajariladi.
Faraz etaylik bo’lmasin. U holda keyingi tenglikdan
(5)
ga ega bo’lamiz. Bunda (5) ni ketma-ket marta differensiallash natijasida
(6)
ga ega bo’lamiz.
Agar Vronskiy determinantini 1-chi ustun elementlarini ga, 2-chi ustun elementlarini ga,va xokazo chi ustun elementlarini ga ko’paytirib, ularning yig’indisini oxirgi ustun elementlari bilan qo’shsak (6) ga asosan oxirgi ustun elemenilari nolga teng bo’ladi U holda determinantning qiymati ham nolga teng bo’ladi ya’ni,

Vronskiy determinantining nolga teng bo’lishi berilgan funksiyalarining ko’rilayotgan oraliqda chiziqli bog’langan bo’lishligining faqat zaruriy sharti bo’ladi, yetarli shart emas. oralig’ida


chunki oraliqda ikkinchi ustun elementlari nolga teng. oralig’ida esa birinchi ustun elementlari nolga teng. Lekin funksiyalari oraliqda chiziqli bog’lanmagandirlar. Chunki ayniyatdan oraliqda oraliqda ekanligi kelib chiqadi. Bu ko’rsatadiki va funksiyalar oralig’ida chiziqli bog’lanmagandirlar.
Teorema 4. Agar (1) tenglamaning da chiziqli bog’liq bo’lmagan yechimlari bo’lsa, u holda uning Vronskiy determinanti ko’rilayotgan oraliqning xech bir nuqtasida nolga teng bo’lmaydi ya’ni

Isbot.Teskari faraz etaylik nuqtasida bo’lsin.
Quyidagi tenglamalar sistemasini tuzamiz.
(7)
Bunda bo’lganda .
Agar (7) sistemada larni noma’lum deb qarasak, larga nisbatan noma’lumli ta bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemaga ega bo’lamiz. Bu sistemani asos determinanti Vronskiy determinatidan iborat bo’lib farazimizga asosan bo’lgani uchun (7) sistemadan trivial bo’lmagan
yechimlarga ega bo’lamiz.
U holda (7) dan
(8)
ega bo’lamiz.
Quyidagi funksiyani tuzamiz
(9)