Egamqulov

7-misol. tenglamaning , boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi topilsin.
Yechish. Tenglamaning xarakteristik tenglamasi bo’lib, uning ildizlari , . Shuning uchun xususiy yechimlar , va bo’lgani uchun umumiy yechim (*).
Tenglamaning berilgan boshlang’ich shartlarini qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topish uchun (*) dan birinchi tartibli hosila olamiz. (**).
(*) va (**) larga boshlang’ich shartlarni qo’yib, va o’zgarmaslarga nisbatan tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu sistemani yechib, , ni topamiz.
U holda berilgan differensial tenglamaning izlanayotgan yechimi: .
8-misol. tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Yechish. Xarakteristik tenglama bo’lib, ildizlari , .
Shuning uchun , va bo’lgani uchun berilgan tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
9-misol. tenglamaning , boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi topilsin.
Yechish. Berilgan o’zgarmas koeffitsientli 2-tartibli differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi bo’lib, ildizlarga ega. Shuning uchun va . U holda tenglamaning umumiy yechimi . Tenglamaning xususiy yechimlarini topish uchun y dan birinchi tartibli hosila olamiz va boshlang’ich shartlardan foydalanib , o’zgarmaslarga nisbatan tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Sistemani yechib , ni aniqlaymiz.
Topilgan va larning qiymatlarini tenglamaning umumiy yechimiga qo’yib, uning berilgan boshlang’ich shartlarini qanoatlantiruvchi xususiy yechimini hosil qilamiz.
10-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. xarakteristik tenglamaning ildizlari bo’lib, haqiqiy va karrali bo’lgani uchun umumiy yechim .

Mustahkamlash uchun savollar

1. 
   Chiziqli teglama deb nimaga aytiladi?
   

2. O’zgarmas koeffitsientli 2-tartibli bir jinsli chiziqli tenglamaning ko’rinishini yozing?
3. O’zgarmas koeffitsientli 2-tartibli bir jinsli chiziqli tenglamaning xususiy yechimi qanday ko’rinishda izlanadi?
4. Xarakteristik tenglama ildizlari necha xil bulanadi va qanday topiladi?