Egamqulov

IV. Ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalar
Reja: 1) 2-tartibli chiziqli teglamalarga doir asosiy tushunchalar
2) O’zgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar
Tayanch ibora va tushunchalar. Ikkinchi tartibli bir jinsli o’zgarmas koeffitsientli chiziqli tenglama, Vronskiy detrmenanti, xarakteristik tenglama.


1. 2-tartibli chiziqli teglamalarga doir asosiy tushunchalar


1-ta’rif. Agar 2-tartibli differensial tenglama noma’lum funksiya y va uning hosilasi ga nisbatan birinchi daralali bo’lsa, bunday tenglama chiziqli differensial tenglama deyiladi va u (3.1) ko’rinishda yoziladi. Bunda va lar x ning funksiyalari yoki o’zgarmas sonlar.
Agar (3.1) da bo’lsa, bir jinsli bo’lmagan yoki o’ng tomonli chiziqli tenglama, bo’lsa, bir jinsli yoki o’ng tomoni bo’lmagan chiziqli tenglama deyiladi.
Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamalarning ba’zi xossalarini isbotsiz eslatib o’tamiz.
1- teorema. Agar va ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli (3.2) tenglamaning ikkita xususiy yechimi bo’lsa, u holda ham shu tenglamaning yechimi bo’ladi.
2- teorema. Agar y (3.2) tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda Cy ham shu tenglamaning yechimi bo’ladi.
2- ta’rif. Agar kesmada (3.2) tenglamaning ikkita va yechimlarining nisbati o’zgarmas miqdorga teng bo’lmasa, ya’ni bo’lsa, va yechimlar kesmada chiziqli bog’liq bo’lmagan erkli yechimlar deyiladi.
Agar kesmada shunday o’zgarmas son mavjud bo’lib, bo’lsa, va yechim chiziqli bog’liq yechim deyiladi.
Masalan, tenglama uchun , , , funksiyalar yechimlari bo’ladi. Bunda va funksiyalar har qanday kesmada ham chiziqli bog’liq emas, chunki bo’lib, o’zgaruvchi miqdordir.
Lekin, va funksiyalar chiziqli bog’liq, chunki .
3-ta’rif. Agar va lar x argumentning funksiyasi bo’lsa, u holda (3.3) determinant Vronskiy determinanti yoki berilgan funksiyaning Vronskiysi deyiladi.
3- teorema. Agar va funksiyalar kesmada chiziqli bog’liq bo’lsa, u holda bu kesmada Vronskiy determinanti aynan nolga teng bo’ladi.
4- teorema. Agar (3.2) tenglamaning va yechimlari kesmada chiziqli erkli bo’lsa, bu yechimlardan tuzilgan Vronskiy determinanti kesmaning hech bir nuqtasida nolga aylanmaydi.
5-teorema. Agar va (3.2) tenglamaning ikkita chiziqli erkli yechimi bo’lsa, u holda (3.4) tenglik (3.2) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi. Bunda va o’zgarmas sonlar.