Differensial va integro-differensial tenglamalar bilan ifodalanuvchi ayrim parametrli amaliy masalalarni yechish

Kalit so`zlar. Parametr, parametrli differensial tenglama, sterjen, tebranish, kuchlanish, deformatsiya, chegaraviy shart, matematik model, Mate tenglamasi.
Ma’lumki, parametrli differensial va integro-differensial tengalamalar alohida mavzu sifatida kam o`rganilgan. Matematikada parametrga bоg`liq masalalar ko`lami juda keng ekanligi, ularni fanning bo`limi va mavzulari bo`yicha, parametrlar sоni bo`yicha va bоshqa xususiyatlari bo`yicha sinflashtirish mumkinligi haqida [1] da fikrlar bildirilgan. Unda ayrim parametrli oddiy differensial tengalamar va ularni yechish usullari, yechimlarni parametrga bog`liq tahlillari keltirilgan.

Ushbu maqolada biz parametrga bog`liq xususiy hosilali differensial tenglamalar tushunchasini shakllantiramiz. Ushbu tenglamalar bilan ifodalanuvchi amaliy masala va uning matematik modelini keltiramiz. Hosil qilingan parametrga bog`liq xususiy hosilali differensial tenglamani parametrli oddiy differensial tengalamani yechishga keltirish usulini ko`ramiz.

Xususiy hosilali differensial tenglamalarda noma’lum funksiya argumenti, o`zi va xususiy hosilalaridan tashqari parametrlar ham qantnashsa u holda bunday tenglamalar parametrga bog`liq xususiy hosilali differensial tenglamalar deyiladi. Masalan

ko`rinishdagi tenglama 2-tartibli 3 parametrli xususiy hosilali differensial tenglamaning umumiy ko`rinishi deyiladi. Tenglamadagi a, b, c lar parametrlar bo`lib, tenglamani yechimiga miqdor va sifat jihatdan ta’sir qiladi.

Bizga rasmda ko`rsatilgandek mahkamlangan sterjen berilgan bo`lsin.

Sterjenni qovushqoq elastik deb hisoblab, uning ko`ndalang tebranish haqidagi masalani fizik chiziqlikni hisobga olib keltirib chiqaramiz. Buning uchun sterjen uzunligi bo`yicha o`zgarmaydigan ko`ndalang kesimga ega va ko’rinishidagi boshlang`ich egilishga ega bo’lsin deb olamiz. kuchlanish va deformatsiya orasidagi fizik bog`lanishni quyidagi

(1)

ko`rinishda olib, deformatsiya bilan ko’chish orasidagi geometrik bog’lanishni

(2)

ko`rinishda olamiz. Bu yerda - sterjening ko’ndalang egilishi; z- sterjen ko’ndalang kesimidagi nuqtadan sterjening neytral o’qigacha bo’lgan masofa (1) va (2) ni

,

tenglamaga qo’yib,

tenglamaga ega bo’lamiz, bu yerda EJ - sterjening egilish bikirligi; m- sterjening birlik uzunlikga mos keluvchi massasi; , F- stejening ko`ndalang kesim yuzi; q- tashqi kuch;

.

Agar sterjenning bo`ylama P(t) kuch ham tasir qilyapti desak , unga mos tenglama quydagi ko’rinishga ega bo’ladi.

Sterjening uchlari sharnirli mahkamlangan bo’lsa, chegaraviy shartlar quydagicha bo`ladi.

Boshlang’ich shartlar quydagicha bo’ladi.

Chegaraviy shartlarni qanotlanturuvchi yechim , ,

ko’rinishda qoldiramiz. Bu yechimni va uning quydagi kerakli hosilalarini hisoblaymiz.

Bularni (4) ga olib borib qo’yamiz

Bunga Galerkin usulini qo’llaymiz.

Yuqorida qatnashgan tenglamadan integrallarni alohida hisoblab olamiz.



Bu yerda,

deb belgilash kiritsak,

hosil bo’ladi.

Demak,

hosil bo’ladi

Bular asosoida quydagilarga o’zgartirish kiritsak

natijada T_k aniqlash uchun quydagi chiziqli bo’lmagan integrodif-ferential tenglamaga ega bo’lamiz[4].

(5)

Bu yerda Р_Э- Eyler kritik kuchi[3,4].

-chastota, _k 1га teng agar k tоq bo’lsa, 0 ga teng agar k juft bo’lsa.

Р(t) kuchni vaqt bo’yicha proparsional deb olsak va quydagi o’lchovsiz kattaliklarni va belgilashlarni kiritsak va dastlabki belgilashlarni saqlasak

(bu yerda - ko’ndalang kesim inersiya radiusi; - eyler kuchiga mos o’zgarishsiz parametrlar, - sterjen materialidagi ovoz tezligi)

(6)

Ko’rinishidagi tenglamaga ega bo’lamiz Shunday qilib, nomalumlarga nisbatan Koshi masalasiga ega bo’ldik. Masalani yechish uchun R(t) yadro sifatida

Koltunov-Rjanitsin yadrosini olamiz.

Agar (5) da , , q=0, R(t) yadroda А=0 deb olib, quydagi o’lchovsiz kattaliklarni va belgilashlarni kiritsak va dastlabki belgilashlarni saqlasak.



(7)

tenglama hosil bo`ladi. Bu Mate tenglamasidir. Bu tenglamani [2,3 ]dagi kabi davriy yechimlarini qidirib, sterjenni tebranishi turg`un va noturg`un bo`ladigan parametrlar to`plamini topamiz.

Parametrga bog`liq chiqadigan yana ko`plab amaliy amaliy masalalarni differensial tenglamalarini keltirish mumkin.

Adabiyotlar.

1. 
   Akbarov U.Y., Sodiqov Z.X. Ikkinchi tartibli uch parametrli ayrim differensial tenglamalar.//SCIENCE AND EDUCATION. SCIENTIFIC JOURNAL. -2020, №1, P. 39-44
   
2. 
   Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. – М.: Наука, 1980. – 272 с.
   
3. 
   Пановко Я.Г. Устойчивость и колебания упругих систем. – М.: Наука, 1987. – 352 с.
   
4. 
   Акбаров У.Й., Бадалов Ф.Б., Эшматов Х. Устойчивость вязкоупругих стержней при динамическом нагружении//ПМТФ. -1992. №4, -С.153-157.