DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI TAQRIBIY YECHISHDA TEYLOR FORMULASI TADBIQIGA ASOSLANGAN AYIRMALAR USULI. ADAMS USULI
Reja:
Differensial tenglamalarni taqribiy yechish
Teylor formulasi
Teylor formulasi tadbiqiga asoslangan ayirmalar usuli
Adams usuli
Differensial tenglamalarni yuqori bo’limlardagidek aniq yechimini topish juda kamdan kam hollardagina mumkin bo’ladi. Amaliyotda uchraydigan ko’plab masalalarga aniq yechish usullarini qo’lashning iloji bo’lmaydi. Shuning uchun bunday differensial tenglamalarni taqribiy yoki sonli usular yordamida yechishga to’g’ri keladi.
Taqribiy usullar deb shunday usullarga aytiladiki, bu hollarda yechimlar biror funktsiyalar (masalan, elementar funktsiyalar) ketma-ketligining limiti ko’rinishida olinadi.
Sonli usullar - noma’lum funktsiyaning chekli nuqtalar to’plamidagi taqribiy qiymatlarini xisoblash usullaridir. Bu xollarda yechimlar sonli jadvallar ko’rinishida ifadalanadi.
Hisoblash matematikasida yuqorida keltirilgan bu guruhlarga tegishli bo’lgan ko’plab usullar ishlab chiqilgan. Bu usullarning bir-birlariga nisbatan o’z kamchiliklari va ustunliklari mavjud. Muhandislik masalalarini yechishda shularni hisobga olgan holda u yoki bu usulni tanlab olish lozim bo’ladi.
Ketma-ket yaqinlashish usuli. (Pikar algoritmi)
Pikar usuli birinchi guruhga tegishli taqribiy usullardan bo’lib amaliy masalalarni yechishda qo’llash mumkin.
Bizga,
y’=f(x,y)
birinchi tartibli differensial tenglamaning u(x0)=u0 - boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi qo’yilsin. Differensial tenglamaning o’ng tomoni f(x,y) funktsiya {|x-x0| a; |y-y0| b} to’rtburchakda uzluksiz va «u» bo’yicha uzluksiz xususiy hosilaga ega bo’lsin.
(7.1.1) dan
dy=f(x,u)dx
ifodani ikkala tomonini «x0» dan «x» gacha integrallasak
Bundan, boshlang’ich shartni hisobga olgan holda
Noma’lum funktsiya integral ifodasi ostida qatnashganligi uchun hosil bo’lgan tenglamani integral tenglama deb ataladi.
da f(x,y) funktsiyadagi “u”ning o’rniga uning ma’lum qiymati “u0”ni qo’yib birinchi yaqinlashish bo’yicha yechim u1(x) ni topamiz:
Endi dagi f(x,y) funktsiyaning “u” o’rniga uni ma’lum qiymati “u1” ni qo’ysak ikkinchi yaqinlashish bo’yicha yechim “u2(x)” ni hosil qilamiz:
Ushbu jarayonni davom ettirsak
Shunday qilib quyidagi funktsiyalar ketma-ketligini hosil qildik
u1(x), u2(x), u3(x), ..., un(x),
Bu ketma-ketlik yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishi mumkin.
Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz:
Teorema. Agar (x0;u0) nuqta atrofida f(x,y) funktsiya uzluksiz va
chegaralangan xususiy hosilasi fy (x,y) mavjud bo’lsa, u
holda Pikar {yi (x)} ketma-ketligi tenglamaning
yechimi bo’lgan va u(x0)= u0 shartni qanoatlantiruvchi u(x)
funktsiyaga yaqinlashadi.
Demak, differensial tenglamalarni yechishda ushbu teoremani shartlari bajarilsa (ya’ni (7.1.7) yaqinlashuvchi bo’lsa) Pikar usulini qo’llash mumkin. Agar (7.1.7) ketma-ketlik uzoqlashuvchi bo’lsa, bu usulni qo’llash mumkin bo’lmaydi.
Misol. Ketma-ket yaqinlashish usuli bilan tenglamaning x0=0 da u0=1 shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi topilsin.
Yechish. Tenglamani ikkala tomonini «x0» dan «x» gacha integrallasak
“u”ning o’rniga uning ma’lum qiymati “u0”ni qo’yib birinchi yaqinlashish bo’yicha yechim u1(x) ni topamiz:
ga asosan
Xuddi shuningdek u3 va u4 ni ham hisoblasak
Berilgan misoldagi tenglama chiziqli birinchi tartibli differensial tenglama bo’lganligi sababli aniq yechimini topishimiz imkoni bor:
Bundan ko’rinadiki taqribiy yechimlar u3 va u4 aniq yechimdan faqat oxirgi hadlari bilan farq qiladilar. Yuqoridagi teorema shartlari bajarganligi sababli bu misol uchun Pikar algoritmi yaqinlashuvchi bo’ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |