Dekart koordinatalar sistemasi. To’g’ri chiziq tenglamasi. Ikki nuqta orasidagi masofa Reja

Misol. x-3y+5=0 va 2x+4y-7=0 to`g`ri chiziqlar orasidagi o`tkir burchak topilsin.
Yechilishi. Berilgan to`g`ri chiziqlarning burchak koeffitsentlari
 , bu to`g`ri chiziqlar orasidagi o`tkir burchak tangensini (1) formula bo`yicha topamiz:

bu yerda y=45°.
Berilgan nuqtadan berilgan to`g`ri chiziqqacha bo`lgan masofa.
A(x<sub>1</sub>;y<sub>1</sub>) nuqtadan Bx+Cy+D=0 to`g`ri chiziqqacha bo`lgan masofa deb, nuqtadan to`g`ri chiziqqa tushiriligan perpendikulyarning uzunligiga aytiladi
(8-chizma) va  formula bilan topiladi.
Misol: A(3;2) nuqtadan 3x+4y-2=0 to`g`ri chiziqqacha bo`lgan masofa.

8-chizma

Ikki nuqta orasidagi masofa

• 
  Agar ikki nuqta o’zining koordinatalari А ( ) va В( ) bilan berilgan bo’lsa, ular orasidagi masofa quyidagi formula bo’yicha hisoblanadi.
  
• 
  АВ =
  

Ya‘ni kesmaning uzunligi kesma uchlarining bir xil ismli koordinatalari ayirmalari va kvadratlarining yig’indisidan olingan kvadrat ildizga teng.
Tekislikdagi ikki nuqta orasidagi masofani aniqlaganda biz uning faqat absolyut qiymatini e‘tiborga olamiz. Bu nuqtalarni birlashtiruvchi to’g’ri chiziqda musbat yo’nalish ko’rsatilgan holdagina, biz kesmani yo musbat, yoki manfiy ishora beramiz.
Koordinatalar boshidan М ( ) nuqtaga bo’lgan masofa quyidagi formulasi bo’yicha aniqlanadi.
ОМ=
AB kesma bilan abstsissalar o’qining musbat yo’nalishi orasida hosil bo’lgan burchak kesma uchlarining koordinatalari bilan quyidagicha topiladi. (14-chizma)
Agar uchburchakning uchala uchining koordinalari А ( ) В ( ) ва С ( ) berilgan bo’lsa, uning yuzini ushbu formula bilan hisoblash mumkin:

S =

Bu formuladan foydalanib, S yuz uchun yo musbat, yoki manfiy qiymat hosil qilamiz: agar uchburchak perimetrini uning A uchidan B va S uchlariga o’tib aylanib chiqish musbat (soat strelkasiga qarama –qarshi) yo’nalishga mos kelsa, u xolda S yuz musbat bo’ladi; soat setrelkasining xarakati buyicha aylanib chiqilganda esa yuz manfiy bo’ladi
Uchburchak yuzining nolga teng, yani bo’lishi uchta nuqtaning bir tug’ri chiziqda yotish alomati bulishi mumkin.
MISOLLAR.
1. Ikki nuqta orasidagi masofa topilsin: va В (+1; -1;) С (-6; +3;) vа D(0;-5); О (0;0;) vа Р (-3;+4); Q (+9;-7) vа R (+4;+5;).
2. Uchburchakning uchlari berilgan: А (+3; +2;), В (-1; -1) vа С (+11; -6). Tomonlarning uzunligi aniqlansin.
3. Uchlari А (0; 0), В (+3; +1) vа С (+1; +7) nuqtalardan iborat bo’lgan uchburchakning to’g’ri burchakli ekanligi isbotlansin.
43* Uchburchakning uchlari: Р (-2; +1), Q (+ 4; + 8) vа R (+ 10; +6). Bu burchakning ichki burchaklari orasida o’tmas burchak bormi?
44. М nuqtaning abssissasi +7 vа N (- 1; +5) nuqtagacha bo’lgan masofasi 10 ga teng. Bu nuqtaning koordinatasi topilsin.
45. Ordinatalar o’qida A (+ 4; - 6) nuqtadan 5 masshtab birligi uzoqlikda turgan nuqta topilsin.
46. Koordinat burchaklari bissektrisalarida M (- 2; 0) nuqtadan 10 masshtab birligi uzoqlikda turgan nuqtalar topilsin.
47. Nuqta to’g’ri chiziq bo’ylab harakat qilib, A (- 1; - 3) nuqtadan V (+ 4; +2) nuqtaga keldi. O’tilgan yo’lning uzunligi va nuqtaning traektoriyasi bilan abstsissalar o’qi orasidagi burchak aniqlansin.
48. M (0; +2) va N (-2; +4) nuqtalardan o’tgan to’g’ri chiziq x o’qi bilan qanday burchak tashkil etadi.
49. To’g’ri chiziq A (+ 3; + 1) nuqtadan o’tadi va x o’qi bilan 45 li burchak tashkil etadi. Bu to’g’ri chiziqda ordinatasi u = + 4 bo’lgan nuqta topilsin.
50. А (+ 3;0) nuqtadan chiqib, x o’qiga 30 li burchak ostida og’ishgan to’g’ri chiziq bo’ylab 8 masshtab birligi qadar siljigan nuqtaning o’rni aniqlansin.
51. х o’qida, koordinatalar boshidan va A (+ 9; - 3) nuqtadan bir xil uzoqlikda turgan nuqta topilsin.
52. А (+ 7; - 3) vа В (- 2; +1) nuqtalardan teng uzoqlikda turgan М (х, у) nuqtaning koordinatalari qanday shartni qanoatlantirishi kerak?
52* Muntazam oltiburchakning ikkita qushni uchlari A (+ 2; 0) va В (+ 5; +3 ) ni bilgan holda, uning markazi topilsin.
53. Uchburchak o’zining uchlari berilgan: A (+2;-3), B (+ 2; +3)va S (- 6; - 4). Shakl VS to’g’ri chiziq bo’ylab bukilsa, A nuqta M nuqta bilan ustma ust tushadi. M nuqtaning koordinatalari topilsin.
53* Rombning ikkita qarama-qarshi uchlari A (+8; -3), S (+1; +3) va AV tomoni 10 ga teng bo’lsa, qolgan uchlarining koordinatalari aniqlansin.
54. Berilgan uchta A (+2;+2), V (-5; +1) va S (+3;-5) nuqtadan bir xil uzoqlikda bo’lgan nuqta topilsin.
55. A (-4;+2) nuqtadan o’tuvchi va abstsissalar o’qiga B (+2; 0) nuqtada urinuvchi aylananing markazi topilsin.
56. (+2; -1) nuqtadan o’tuvchi va ikkala koordinata o’qlariga urinuvchi aylananing markazi va radiusini topilsin.
57. Uchlari A (+4;+2) B (+9;+4) va S (+7;+6) nuqtalardan iborat bo’lgan uchburchakning yuzi hisoblansin.
58. Uchlarining koordinatalari (-2; +1), (+2;-2) va (+8;+6) bo’lgan uchburchakning perimetri va yuzi hisoblansin.
58*. Uchlari А (- 2; 0), В (0;- 1), С (+ 2; 0), D (+ 3; + 2) vа Е (- 1; + 3) nuqtalardan iborat bo’lgan beshburchakning yuzi hisoblansin.
59. Quyidagi uchta nuqta bir to’g’ri chiziqda yotish yoki yotmasligi tekshirilsin:
а) (0; + 5), (+ 2; + 1), (- 1; + 7);
в) (+ 3; + 1), (- 1; - 9), (+ 8; 11),
с) (0; + 2), (- 1; + 5), (+ 3; + 4),
60. Nuqta to’g’ri chiziq bo’ylab harakat qilib, M (+ 5; + 5) va N (+ 1; + 3) nuqtalardan o’tdi. U x o’qini qaysi nuqtada kesib o’tadi?
Ko’rsatma. R (x;0) nuqta berilgan ikki nuqta bilan bir to’g’ri chiziqda yotishi kerakligi shartidan uning abstsissasi topilsin.
61. To’g’ri chiziq o’zining A (- 1; + 4) va V (+ 2; + 1) nuqtalari bilan aniqlangan. Shu to’g’ri chiziqda abstsissasi x = + 5 bo’lgan nuqta topilsin.
61*. A (+ 1; + 3), V (+ 4; + 7), S (+ 2; + 8), D (- 5; + 4) nuqtalari berilgan. ABSD to’rtburchakning parallelogramm ekaligi tekshirilsin va AB tomonini asos deb, uning balandligi hisoblansin.
Adabiyotlar

1. 
   Александров А.Д Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М., Наука, 1990.
   
2. 
   Погорелов А.В. Аналитик геометрия. Т. O’qитувчи. 1983
   
3. 
   Бахвалов С.В., Моденов П.С. Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. М., Гостехиздат, 1957.
   
4. 
   Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Аналитическая геометрии», Москва, «Наука» 1981.