Aniq integralda o’zgaruvchini almashtirish va bo’laklab integrallash

Aniq integralda o

’zgaruvchini almashtirish. 

Bizga  



b

a

dx

x

f

)

(

 aniq integral berilgan bo

’lsin, bunda 

f(x)

  

funksiya [a,b] kesmada uzluksizdir. 

 

)

(

t

x





 deb yangi o

’zgaruvchi kiritamiz, bunda 

)

(

t



 va uning hosilasi 











,

),

(

'

t

 kesmada  

uzluksiz va 

b

a





)

(

,

)

(









 bo

’lsin. 

 

Bu shartlar bajarilganda qo

’yidagi tenglik o’rinli bo’ladi: 

 

   







b

a

a

dt

t

t

f

dx

x

f







)

(

'

))

(

(

)

(

   

 

(4) 

 

Aniq  integral  (4)  formula  bo

’yicha    hisoblaganda  yangi  o’zgaruvchidan  eski  o’zgaruvchiga  qaytish 

kerak emas, balki eski o

’zgaruvchining chegaralarini keyingi boshlang’ich funksiyaga qo’yish kerak. 

 

Aniq  integralni  bo

’laklab  integrallash. 

Faraz  qilaylik, 

)

(

)

(

x

v

va

x

u

  funksiyalar  [a,b]  kesmada 

differensiallanuvchi funksiyalar bo

’lsin. U holda: u=u(x) va v=v(x) deb olsak 

'

'

)'

(

uv

v

u

uv





 

o’rinli bo’ladi. 

 

Bu tenglikni ikkala tomonini a dan b gacha bo

’lgan oraliqda integrallaymiz. 

 

   











b

a

b

a

b

a

dx

uv

vdx

u

dx

uv

'

'

)'

(

   

 

(5) 

 

Lekin 







C

uv

dx

uv

)'

(

  bo

’lgani sababli 

b

a

b

a

uv

dx

uv





'

)

(

 

bo’ladi. 

 

Demak, (5) tenglikni qo

’yidagi ko’rinishda yozish mumkin: 

 

   









b

a

b

a

udv

vdu

a

b

uv

 

Bundan 

 

   









b

a

b

a

vdu

a

b

uv

udv

 

 

 

 

(6) 

 

Bu formula aniq integralni bo

’laklab integrallash formulasi deyiladi. 

 

Izoh:  Ba

’zi  integrallarni  hisoblashda  bo’laklab  integrallash  formulasini  bir  necha  marta  qo’llash 

mumkin. 

Agar 

)

(

)

(

2

2

1

1

x

f

y

va

x

f

y





  egri  chiziqlar  hamda  x=a    va  x=b  to

’g’ri  chiziqlar  bilan 

chegaralangan figuraning yuzini hisoblash kerak bo

’lsa, u holda 

)

(

)

(

2

1

x

f

x

f



 shart bajarilgan figuraning 

yuzi qo

’yidagiga teng: 

 

 







b

a

dx

x

f

x

f

S

))

(

)

(

(

2

1

 

 

 

(7) 

---

 

 

 

Misol.  Y=cosx,    y=0    chiziqlar  bilan  chegaralangan  figuraning  yuzi  hisoblansin,  bunda 

]

2

,

0

[





x

. 

Yechish.   

]

2

,

2

/

3

[

]

2

/

,

0

[











x

va

x

   da 

0

cos



x

  hamda 

]

2

/

3

,

2

/

[







x

  da  

0

cos



x

 bo

’lgani 

uchun 

 



































2

0

2

/

0

2

2

/

3

2

/

3

2

/

0

2

/

sin

cos

)

(cos

cos

cos

x

xdx

dx

x

xdx

dx

x

S

 

4

)

1

(

1

1

1

2

3

sin

2

sin

2

sin

2

3

sin

0

sin

2

sin

2

/

3

2

sin

2

/

2

/

3

sin

















































x

x

 

 

Demak. S=4(kv.birlik) 

Agar egri chiziqli trapetsiyaning yuzi 

)

(

),

(

t

y

t

x









 tenglamalari parametrik shaklda 

berilgan chiziq bilan chegaralangan bo

’lsa, bunda bu tenglamalar [a, b] kesmadagi biror 

)

(

x

f

u



  

funksiyani aniqlaydi, bunda 

b

a

va

t







)

(

,

)

(

]

,

[













. 

U holda egri chiziqli trapetsiyaning  yuzi 





b

a

vdx

S

 formula bo

’yicha hisoblanishi mumkin bo’ladi. 

Bu integralda o

’zgaruvchini almashtiramiz:  

dt

t

dx

t

x

)

(

),

(









 ,    

 

)

(

))

(

(

)

(

t

t

f

x

f

y











 

Demak, 













dt

t

t

S

)

(

'

)

(

   

 

 

(8) 

Bu  formula  chiziq  parametrik  tenglamalar  bilan  berilganda  egri  chiziqli  trapetsiyaning  yuzini 

hisoblash formulasidir. 

Misol. x=acost,  y=bsint  ellips  bilan chegaralangan sohaning yuzi hisoblansin. 

Yechish. Ellipsning yuqori yarim yuzini hisoblab, uni 2 ga ko

’paytiramiz. 

 

0

,

1

cos

,

cos

,

1

cos

,

cos

























t

t

t

a

a

t

t

t

a

a

uchun

a

x

a



 















0

0

2

.

sin

2

)

sin

(

sin

2







ab

tdt

ab

tdt

a

t

b

S

 

Javob : 

ab



 (kv.birlik). 

 

Demak, xulosa qiladigan bo

’lsak aniq integralning quyidagi asosiy tushunchlarini o’rgandik: 



 

Ishni aniq integral yordamida hisoblash. 



 

Aniq integralda o

’zgaruvchini almashtirish. 



 

Aniq integralda bo

’laklab integrallash. 



 

Aniq integralni amaliy masalalar yechimlarini topishdagi tadbig

’i. 

 

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO

’YXATI 

 

1. 

www.ziyonet.uz

    ta

’lim portali. 

2.  Soatov Yo.U. Oliy matematika. Toshkent, 

“O’qituvchi”, 1995 y.1-4 qismlar. 

3. 

Пискунов Н.С. Дифференциал ва интеграл ҳисоб. 1-том, 2-том Т.: “Ўқитувчи”. 1974 й. 

 

A.M.Pulotov 

– 

pedagogika  fanlari  nomzodi,

 

Navoiy  viloyati  pedagogik  kadrlarni  qayta  tayyorlash  va 

ularning malakasini oshirish instituti ”Tabiiy va aniq fanlar ta’limi” kafedrasi mudiri, tel.: [phone]-

98.  E-mail.: 

[e-mail]

, 

[e-mail]