|
Бутун сонлар ва улар устида амаллар
Натурал сонлар тўпламида ушбу
b+x=a (1)
тенглама фақат а > b бўлганда ва фақат шундагина x = a - b ечимга эга бўлади ҳамда у а ва b сонларнииг айирмаси дейилади. Бошқача айтганда,
a > b бўлса, (1) тенгламанинг ечими бир жуфт (а; b) натурал сонлар ёрдамида аниқланади. Агар a ≤ b бўлса. (1) тенглама натурал сонлар тўпламида ечимга эга эмас. Натурал совлар тўпламини шундай кенгайтириш керакки, у кенгайтмада (1) тенглама доимо ечимга эга бўлсин. Шу масалага батафсил тўхталиб ўтамиз.
Фараз қилайлик
b+x=a ва d+y=c
тенгламаларнинг ечимлари мавжуд бўлиб, улар устма - уст тушсин. Бу иккита тенгламанинг ечимлари топилган деб фараз қилиб, биринчи тенгламанинг томонига d ни, иккинчи тенгламанинг иккала томонига эса b ни қўшамиз:
d+b+x=d+a, b+d+y=b+c
Бу тенгламалардан кўринадики, агар х ва у лар биз қураётган кенгайтманинг битта элементи бўлса, у холда бу кенгайтмада
d+a=b+c (2)
тенглик бажарилиши керак. Фараз қилайлик
b + x = a вa d + у = с
тенгламаларнинг ечимлари мос равишда (а; b) ва (с: d) жуфтликлар ёрдамида аниқланган бўлсин. У ҳолда
(b + d)+(x + y) = a + c (3)
тенглама ҳосил бўлади. Бундан х ва у нинг x + у йиғиндиси (a+c; b+d) жуфтлик ёрдамида аниқланар экан.
Энди мос равишда (a: b) вa (c: d) жуфтликлар ёрдамида аниқланувчи х ва у элементларнинг х ‧ у кўпайтмаси қандай жуфтлик ёрдамида аниқланишини излаймиз. Бунинг учун b + x = a, d + y = с тенгламаларни ҳадлаб кўпайтирамиз. У ҳолда
bd + dx + by + xy = ac
тенглама ҳосил бўлади. Бу тенгламанинг иккала қисмига bd ни қўшиб, қуйидаги тенгламани хосил қиламиз:
bd + dx + bd + by + xy = ac + bd,
d(b+ x) + b(d + y) + xy = ac + bd,
ad + bc + xy = ac + bd
Демак, х‧у кўпайтма (ac + bd, ad + bc) жуфтлик ёрдамида аниқланар экан.
Маълумки, натурал сонлар тўплами N тартибланган тўпламдир, яъни ҳар қандай (а; b) натурал сонлар жуфтлиги учун а = b, a > b, a < b муносабатлардан биттаси ва фақат биттаси ўринли бўлади.
1-таъриф. Arap a = b, a > b ёки a < b муносабатлар ўринли бўлса, у ҳолда (а: b) жуфтлик мос равишда ноль, мусбат ёки манфий жуфт дейилади.
2-таъриф. Arap a+d = b+c тенглик ўринли бўлса, у ҳолда (а; b) ва (с; d) жуфтликлар эквивалент жуфтликлар дейилади.
Бошқача айтганда, бу таърифга кўра
( a, b, c, d N) (a + d = b + c) ((a; b) (c; d)).
Биз (а; b) кўринишдаги барча жуфтликлар тўпламини Z орқали белгилаймиз. 2-таърифга кўра Z тўпламда эквивалентлик муносабати аниқланган.
Маълумки, эквивалентлик муносабати шу муносабат аниқланган тўпламни эквивалентлик синфларга ажратар эди, яъни 2- таърифдаги эквиваент муносабати қаралаётган (а; b) жуфтликлар ҳосил қилган эквивалент синфлар тўплами фактор-тўплам деб аталар эди. Шу фактор тўпламнинг элементларини бутун сонлар деб қабул қиламиз.
3-таъриф. (а; b) кўринишдаги жуфтликларнинг ҳар бир эквивалентлик синфи бутун сон дейилади.
Бошқача айтганда (а: b) жуфтликка а - b бутун coн мос қўйилади. Ушбу n {a + n, a)} акслантириш натурал сонлар тўплами N, бутун сонлар тўплами Z нинг қисм тўплами эканини кўрсатади. N тўпламдаги қўшиш ва кўпайтириш амалига Z тўпламда аниқланган кўшиш ва кўпайтириш амаллари мос келади. Ҳақиқатан.
n + m → {(a + n + m; a)}, n ‧ m →{(a + n ‧ m; a)}.
Шундай қилиб, (a + n; a) жуфтликлар синфига, бу синфнинг аниқланишига асосан, n натурал сон мос қўйилади. (а; а) жуфтликлар синфини ноль билан белгилайлик. Аммо (а + n: a) + (a; a + n) = (k: k) бўлгани учун (а, а + n ) жуфтлик (a + n: a) жуфтликка қарама-қарши элемент дейилади ва – n каби белгиланади ҳамда – ( – n ) = n деб юритилади.
Шундай қилиб, бутун сонлар тўплами натурал сонлар тўпламининг кенгайтмасидан иборат бўлиб, бу тўпламда (1) тенглама доимо ечимга эга бўлар экан.
4-таъриф.
a =
муносабат билан аниқланувчи |а| сон а бутун соннинг модули дейилади.
Бутун сонлар тўплами тартибланган тўпламдир. Бунда тартиб муносабати қуйидагича киритилади.
Натурал сонларнинг табиий тартиби сакланади, яъни ҳар қандай натурал сон учун n > 0, – n < 0 бўлади. Ихтиёрий n ва k натурал сонлар учун п > k бўлса, у ҳолда – n < – k деб қабул қилинади.
Агар (a; b) жуфтликни а – b билан алмаштирсак, бутун сонлар устидаги амаллар қуйидагидан иборат бўлади:
Do'stlaringiz bilan baham: |
