8-мавзу. Статистик ва корреляцион боғланиш. Регрессия тенгламаси таянч сўз ва иборалар

1-таъриф. Бош тўпламнинг бирор бир группасига тегишли
белгиларнинг арифметик ўртачаси группа ўртачаси деб аталади.
Группа ўртачасини баъзи ҳолларда шартли ўртача деб ҳам юритиш мумкин. Юқорида фойдаланилган шартли ўртача тушунчасида бу ҳолат юз берган.
Группа ўртачаси ва группалар ҳажми маълум бўлса умумий тўплам ўртачасини (бош тўплам ўртачаси) топиш мумкин.
7-мисол. Қуйидаги жадвал асосида икки группадан ташкил топган тўплам ўртачаси топилсин:

Группа	Бир	инчи		Иккинчи
Белгининг қийматлари	1	6	1		5
Частота	10	15	20		30

x₁   4 , x₂   3,4 .
Группа ўртачалари бўйича умумий ўртачани топамиз:

x   3,6.
2-таъриф. Группага тегишли белгиларнинг группа ўртачасига
нисбатан дисперсияси группа дисперсияси деб аталади:
2

n x x_i  i  _j 
D X_гр ( _j ), N _j

бу йерда n_i  x_i қийматнинг частотаси; j группа номери; x_j  j группанинг
группа ўртачаси; N _j n_i  j группа ҳажми.
i
8-мисол. Икки группадан ташкил топган тўпламнинг группа

_{D X}гр₍ 1_{) } 10 (1  4)² 15 (6 4)² _{ 6},
25
D Xгр( 2) _ 20 (1 3,4)² 30 (5 3,4)² _ 115,276,8 _ 3,84 .
50 50
3-таъриф. Группа дисперсияларининг группалар ҳажми бўйича
олинган арифметик ўртачаси группалар ички дисперсияси деб аталади:

Dгр N D Xj гр ( j ), n
бу йерда, N _j  j группа ҳажми; nN _j умумий тўплам ҳажми.
j
Масалан, 2-мисолда группалар ички дисперсиясини топсак:

D_гр   4,56 .
4-таъриф. Группа ўртачаларининг умумий тўплам ўртачасига (бош тўплам ўртачаси) нисбатан дисперсияси группалараро дисперсия деб аталади:

D xгр  j   N x_j _n j  ^x² ,

бу йерда x_j  j группанинг группа ўртачаси; N _j  j группа ҳажми;

x_T умумий ўртача; nN _j умумий тўплам ҳажми.
j
Масалан, 1-мисолда группалараро дисперсияни топсак:

гр  j   75  75  .
Энди бу тушунчалардан фойдаланиб танланма корреляцион тушунчасини аниқлаймиз. 5-таъриф. Y нинг X га танланма корреляцион нисбати деб,	нисбат
^yx yx ^	(8)

25 (4 3,6)² 50 (3,4 3,6)² 4 2
D x 0,08
_y
нисбат билан аниқланувчи катталикка айтилади.
Бу йерда ^_yx  – шартли ёки группалараро ўртача
квадратик четланиш;  _ – ўртача квадратик четланиш; ⁿ –
танланма ҳажми; n_x – X белгининг x қиймати частотаси; n_y – Y белгининг


y қиймати частотаси; y – Y белгининг умумий ўртачаси; y_x – Y белгининг
X x_ га мос шартли ўртачаси (x группанинг группа ўртачаси).
X нинг Y га танланма корреляцион нисбати ҳам шу каби аниқланади:
^xy
xy 
_x
9-мисол. Қуйидаги корреляцион жадвал бўйича Y белгининг X
белгига корреляцион нисбати _yx ни топинг.

2

_y  n y y_y     38 15 17,4  ² 1225 17,4 ²  4,27_. n 50
_yx – шартли ўртачанинг ўртача квадратик четланишни (ёки группалараро
ўртача квадратик четланиш) топамиз:
n y_x  x  y 10 21 17,4  ² 28 15 17,4  ² 12 20 17,4  ^2
_yx  _n  ₅₀  2,73.
yx 2,73
Топилганларни (8) формулага қўйсак: _yx    0,64.
_y 4,27
Танланма корреляцион нисбат учун қуйидаги хоссалар ўринли. _yx ва _xy катталиклар учун аниқланган хоссалар бир хил бўлганлиги сабабли танланма корреляцион нисбат хоссаларини  катталик учун санаб ўтамиз.
1-хосса. Танланма корреляцион нисбат қуйидаги қўш тенгсизликни қаноатлантиради: 01.
2-хосса. Агар 1 бўлса, белгилар функционал боғланишда, яoни Y  f X( ) бўлади.
3-хосса. Танланма корреляцион нисбат танланма корреляция

коеффицентининг абсолют қийматидан кичик эмас:  r_Т .

4-хосса. Агар  r_Т бўлса, белгилар орасида чизиқли боғланиш бўлади.
5-хосса. Агар 0 бўлса, белгилар корреляцион боғланишда бўлмайди.
Танланма корреляцион нисбатнинг афзаллиги унинг исталган корреляцион боғланиш, шу жумладан, чизиқли боғланиш зичлигининг ҳам ўлчови бўлиб хизмат қилишидадир. Шу билан бирга танланма корреляцион нисбат камчиликка ҳам эга: у боғланиш шакли ҳақида ҳеч қандай маълумот бермайди.
Агар X ва Y белгилар орасидаги корреляцион боғланиш ўрганилаётган

бўлиб, y_x  f x( ) регрессия графиги эгри чизиқ билан тасвирланадиган бўлса, у ҳолда бу корреляция эгри чизиқли дейилади.
Эгри чизиқли корреляцияда ҳам чизиқли корреляция каби корреляцион боғланиш шакли ва унинг зичлигини аниқлаш билан шуьулланилади. Эгри чизиқли корреляцияда Y нинг X га регрессия функциялари қуйидаги кўринишда бўлиши мумкин:

y_x ax²  bx c (иккинчи тартибли параболик корреляция); y_x ax³ bx²  cx d (учинчи тартибли параболик корреляция); a y_x  (гиперболик корреляция). x
Регрессия функциясининг кўринишини аниқлаш учун Декарт координаталар системасида (x y, ) нуқталарнинг ўрни топилади ва уларнинг жойлашишига қараб регрессия функциясининг тахминий кўриниши ҳақида гипотеза қилинади; ўрганилаётган масаланинг моҳиятидан келиб чиққан ҳолда охирги хулоса қабул қилинади. Белгилар орасидаги корреляцион боғланишни ифодаловчи регрессия функцияларининг номаълум параметрларни аниқлаш ёки статистик баҳолаш масалалари ҳам муҳим ҳисобланади. Регрессия функциясининг номаълум параметрлари ҳам энг кичик квадратлар усули ёрдамида топилади. Эгри чизиқли корреляция зичлигини баҳолашда танланма корреляцион нисбатдан фойдаланамиз.
Эгри чизиқли корреляциянинг содда ҳолларидан бири иккинчи тартибли параболик корреляция кўринишдаги корреляциянинг номаълум параметрларини танланма маълумотлари ёрдамида топамиз. Аниқлик учун Y нинг X га регрессия танланма тенгламасини қараймиз. Бунда регрессия танланма тенгламаси

y_x ax²  bx c
кўринишда бўлиб, a b c, , номаълум параметрларни танланма маълумотлари
бўйича топиш керак бўлади. Номаълум коеффицентларни
_i  y_i (ax_i²  bx_i  c) четланишлар квадратларининг йиғиндиси энг кичик бўладиган қилиб, танлаймиз. Шу мақсадда, қуйидаги функцияни киритамиз:
n
F a b c( , , ) _i² . Бу функцияни экцтремумга текшириб ва тегишли
i1
алмаштиришлардан сўнг қуйидаги системани ҳосил қиламиз.

_a n xn xi _i4 b n xn xi i3 c n xn xi i2  n n x yxi i2 xi ,
_ i1 i1 i1 i1

a n xn xi _i3 b n xn xi i2 c n x n xi i  n n x yxi i xi , (9)
 i1 i1 i1 i1

a n xn xi _i2 b n x cnn xi i   n n yxi xi .
 i1 i1 i1
Кузатиш натижалари (x y_i , _i ) жуфтликлардан фойдаланиб (9) тенгламалар системасидан a b c, , номаълум параметрлар топилади.