14-mavzu sirtlarning tekislik va to’g’ri chiziq bilan kesishishi. Sirt yoyilmasi yasash

Aylanish sirtlarining tekislik bilan kesishuv chizig’ini qurish. Φ – aylanish sirti, P esa, –tekislik bo’lsin, unda Φ ga, shuningdek, P ga tegishli bo’lgan umumiy L_i nuqtalarni topish uchun, yordamchi kesuvchi S_sirtlar qilib, aylanish sirtining o’qiga perpendiikulyar bo’lgan tekisliklarni olish maqsadga muvofiq bo’ladi. Bunday holda, S_ tekisliklar Φ sirtni aylana bo’yicha, Ptekislikni esa, to’g’ri chiziq bo’yicha kesadi. Kesishuv chiziiqqa tegishli bo’lgan L_i nuqtalarni topish, to’g’ri chiziqning aylana bilan kesishuv nuqtalarini topish masalasiga keltiriladi.

Misol. Φ sfera sirtining umumiy vaziyatdagi P tekislik bilan kesishuv chizig’i topilsin(14.1-rasm).

Yechish. Sfera sirtining tekislik bilan kesishuv chizig’i aylana bo’ladi. Agar, berilgan kesuvchi tekislik umumiy vaziyatda bo’lsa, kesishuv chiziqdagi aylana proyeksiyalar tekisliklariga ellips ko’rinishida proyeksiyalanadi.

Qurishlarni tayanch nuqtalarni topishdan boshlaymiz. Kesishuv egri chiziqning quyi A va yo’qori B nuqtalarini topamiz. Buning uchun, sferaning makazi O orqali yordamchi kesuvchi S₁  P_H tekislikni o’tkazamiz. A va B nuqtalar S₁ va P tekisliklarning kesishuv chizig’iga tegishlidir. A va B nuqtalar (1, 2) = S₁∩P to’g’ri chiziqning  sirt bilan kesishuvi natijasidan topiladi. A, B = (1, 2) ∩.

14.1-rasm.

Ularni topish uchun, proyeksiyalar tekisliklarini almashtirishdan foydalanaiz. sistemadan ga o’tamiz. x₁ o’qni P_H ga perpendikulyar qilib o’tkazamiz. P tekislik V₁ ga nisbatan perpendikulyar holatni egallaydi, shuning uchun, frontal P¹_H iz, sferaning yangi ^΄΄₁ qiyofa chizig’ini kesib, hosil qilgan A^΄΄ va B^΄΄ nuqtalar izlangan nuqtalar bo’ladi.

Teskari qurishlar yordamida izlanayotgan nuqtalarning gorizontal (A^΄, B^΄) va frontal (A^΄΄, B^΄΄) proyeksiyalarini topamiz. [A^΄ B^΄] to’g’ri chiziq, elleps gorizontal proyeksiyasining kichik o’qi(diametri) bo’ladi. Shu ellepsning katta o’qi [D^΄E^΄] ni aniqlash uchun, sferaning yordamchi proyeksiyadagi O^΄΄₁ makazidan [A^΄΄₁ B^΄΄₁] kesmaga perpendikulyar to’g’ri chiziq o’tkazish kifoya. Perpendikulyarning [A^΄΄₁ B^΄΄₁] bilan kesishib hosil qilgan C(C^΄΄₁) nuqtasi, ellipsning tutashgan (katta) diametri DE o’tadigan markazi bo’ladi.

[DE] kesma P tekislikning gorizontaliga tegishlidir. D va E nuqtalarni topish uchun, yordamchi kesuvchi S ₂ C tekislikni o’tkazamiz. Bu tekislik sfera sirtini H tekisligiga o’zgarishsiz proyeksiyalanuvchi, radiusi C₁^΄΄3₁^΄΄ga teng va C΄ markazdan chiziladigan 3,4 aylana bo’ylab kesadi. Bu aylananing gorizontalning goizontal proyeksiyasi h΄ C΄ bilan kesishuv nuqtalari D΄ va C΄ nuqtalarning gorizontal proyeksiyalarini belgilaydi. Ellipsning frontal proyekiyasi uchun ko’rinar-ko’rinmasligini belgilavchi F va G nuqtalarni topish uchun, V ga parallel (S₃ O΄) tekislikdan foydalanamiz. Bu tekislik sferani, uning frontal proyeksiyasidagi qiyofa chizig’iga teng aylana bo’ylab, P tekislikni esa, uning frontali bo’ylab kesadi. P tekislikning frontali bilan sfera qiyofa chizig’ining frontal proyeksiyasining kesishuv nuqtalari F^΄΄ va G^΄΄ nuqtalarning o’rnini belgilaydi.

Kesim chizig’i gorizontal proyeksiyasining ko’rinar-ko’rinmasligini belgilavchi M va N nuqtalarni topish uchun, H ga parallel S₄ O^΄΄ tekislikni o’tkazamiz. Bu tekislik P tekislikni, uning gorizontali bo’ylab, sferani esa, uning gorizontal proyeksiyasidagi qiyofa chizig’iga teng aylana bo’ylab kesadi. Bu aylana bilan P tekislik gorizontalining kesishuv nuqtalari izlanayotgan M΄ va N΄ nuqtalarning o’rnini belgilaydi.

Kesim chizig’iga tegishli qolgan ixtiyoriy L_i nuqtalarni topish uchun, yordamchi tekisliklar sifatida, qoida bo’yicha, sath tekisliklaridan (gorizontal va frontal) foydalanish maqsadga muvofiq bo’ladi.

Konus kesimlari. Aylananing parallel proyeksiyasi.

Ikkinchi tartibli egri chiziqlar konus kesimlari deb ataladi, chunki ular aylanma konus sirtini ixtiyoriy tekislik bilan kesganda hosil bo’ladi. Bunday chiziqlarga quyidagilar kiradi: ellips, parabola, giperbola, aylana, qo’shaloq to’g’ri chiziq, o’zaro kesishgan ikkita to’g’ri chiziqlar va nihoyat, nuqta.

Agar kesuvchi F tekislik konus sirtining hamma yasovchisini kesib o’tsa, o’ziga tegishli emas nuqtalariga ega bo’lmagan ikkinchi tartibli egri chiziq, ya’ni ellips hosil bo’ladi(14.2-rasm). Agar F tekislik konus sirtining bitta yasovchisiga parallel bo’lsa, unda tekislik bu yasovchini o’ziga tegishli bo’lmagan nuqtada, qolgan yasovchilarni o’ziga tegishli bo’lgan nuqtalarda kesadi. Demak, kesimda bitta o’ziga tegishli bo’lmagan nuqtaga ega bo’lgan ikkinchi tartibli egri chiziq – parabola hosil bo’ladi(14.3-rasm). Agar F tekislik konus sirtning ikkita yasovchisiga parallel bo’lsa, kesimda ikkita o’ziga tegishli bo’lmagan haqiqiy nuqtalari bo’lgan ikkinchi tartibli egri chiziq – giperbola hosil bo’ladi(14.4-rasm).

14.2-rasm.

Ravshanki, agar F tekislik konus sirtning i o’qiga perpendikulyar bo’lsa, kesimda aylana hosil bo’ladi(14.2-rasmga qarang). Shuning uchun, aylana markaziy proyeksiyasining ko’rinishi, proyeksiyalar tekisligini tanlashga bog’lik holda, har qanday ikkinchi tartibli egri chiziq bo’lishi mumkin(proyeksiyalash markazi – konus sirtining uchi).

14.3-rasm.

Agar kesuvchi tekislik konus sirtning uchidan o’tsa, unda ikkinchi tartibli egri chiziq yoki mavhum, yoki ustma - ust tushgan, yoki boshqa - boshqa haqiqiy ikkita to’g’ri chiziqlarga ajraladi. Agar tekislik konus sirt bilan aniqlanuvchi va unga oid burchakni kesib o’tsa, bu to’g’ri chiziqlar haqiqiy boshqa-boshqa to’g’ri chiziqlar bo’ladi(4.4-rasmga qarang). Agar tekislik konus sirtga urinma bo’lsa, to’g’ri chiziqlar ustma-ust tushadi(14.3-rasmga qarang), agar kesuvchi tekislik konus sirtga oid burchakdan tashqari bo’lsa, to’g’ri chiziqlar mavhum bo’ladi.

Yo’qorida ko’rib o’tilgan misollarda, konus sirtini kesuvchi tekisliklar xususiy vaziyatda olingan edi. Agar, kesuvchi tekislik umumiy vaziyatda bo’lsa, uni kopleks chizmani(epyuni) qayta tuzish yo’li bilan xususiy vaziyatga keltirib olish kerak bo’ladi. Yechimni boshqacha varyantda ham hal qilish mumkin, ya’ni, to’g’ri chiziqning tekislik bilan uchrashuv nuqtasini topish masalasini bir necha marta takrorlash yo’li bilan. Buning uchun, konus sirtining bir nechta yasavchilari o’tkaziladi va bu to’g’ri chiziqlarning tekislik bilan uchrashuv nuqtalari topiladi. Shundan so’ng, topilgan nuqtalar silliq qilib tutashtiriladi.

14.4-rasm.

14.5 – rasm. 14.6 – rasm.

Boshqacha aytganda, aylananing parallel proyeksiyasi ellips bo’ladi. Ravshanki, bu fikr ortogonal proyeksiyalash uchun ham adolatlidir.

Ikkita holni ko’rib chiqamiz.

1. l aylana Δ sath tekisligida yotibdi. Tabiiyki, u proyeksityalar tekisliklaridan biriga haqiqiy kattaligida proyeksiyalanadi, boshqa proyeksiyalar tekisliklarida esa, aylana tekisligining lⁱ o’zgargan proyeksiyasi bilan ustma - ust tushadi(14.5-rasm).

2. l aylana Δ proyeksiyalovchi tekislikda yotibdi (14.6-rasm).

Uning bitta proyeksiyasi o’zgargan bo’lib, tekislikning o’zgargan proyeksiyasi bilan ustma-ust tushadi, ikkinchi proyeksiyasi ellips bo’ladi. l^′, l^′′ proyeksiyalarni qurish chizmadan ko’rinib turibdi.

2 slayd