1-Ma’ruza Kompleks sonlar. Aniqmas integral. Integrallar jadvali. Aniqmas integralning xossalari va hisoblash usullari. Ratsional

Trigonometrik funksiyalarni integrallash

Download 0,53 Mb.

Pdf ko'rish

bet	9/10
Sana	17.02.2021
Hajmi	0,53 Mb.
	#58923

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Bog'liq
1-maruza

Trigonometrik funksiyalarni integrallash.

SHu paytgacha integral ostidagi funksiyalar integral o‘zgaruvchisiga nisbatan

ratsional yoki irratsional bo‘lgan hollarni qarab chiqqan edik. Ushbu mavzuda biz

trigonometrik funksiyalarning integrallarini o‘rganamiz. Eng sodda hollardan

boshlaylik.

∫ ; ∫ ; ∫ (m va n lar

ixtiyoriy haqiqiy sonlardir) kabi integrallar.

ko‘rinishdagi integrallarni hisoblash lozim bo‘lsa, trigonometrik

funksiyalarning ko‘paytmalarini yig‘indiga keltiruvchi quyidagi formulalardan

foydalaniladi:

[ ]

18-Misol.

∫

integralni hisoblang.

►∫

∫ (

)

∫

◄

∫

, ∫

kabi ko‘rinishdagi integrallar.

Bu kabi integrallarni hisoblash lozim bo‘lsa, n va m sonlarining butun musbat,

toq yoki juft sonlar ekanliklari hollari alohida qaraladi.

a) Agar

va kabi toq sonlar bo‘lsa, ular quyidagicha

almashtirish bilan ko‘phadni integrallashga olib kelinadi.

∫

19-Misol.

∫

integralni hisoblang.

►∫

∫

∫ ∫

∫

◄

b) Agar

va musbat juft sonlar bo‘lsa, u holda

formulalardan foydalanib integral ostidagi funksiyaning

darajasi tushiriladi.

20-Misol.

∫

integralni hisoblang.

►∫

∫ (

)

∫

◄

∫

kabi ko‘rinishdagi integrallar.

Bu kabi integrallarni hisoblash uchun, ( bu erda m va n lar yana butun sonlar )

quyidagi hollarni alohida o‘rganamiz:

a) Agar n va m butun sonlar hamda ulardan hech bo‘lmaganda biri toq son

bo‘lsa (aniqlik uchun n toq bo‘lsin), u integralni hisoblash quyidagicha amalga

oshiriladi.

∫

| | ∫

Oxirgi integral esa ratsional funksiyaning integralidir.

21-Misol.

∫

integralni hisoblang.

►∫

∫

| | ∫

∫ (

)

◄

b) n va m ham musbat juft sonlar bo‘lsa, qaralayotgan integralni hisoblash

trigonometrik funksiyalarning darajalarini tushirish formulalari yordamida

ning darajalarini integrallashga keltiriladi.

22-Misol.

∫

integralni hisoblang.

►∫

∫ (

)

(

)

∫( )

∫

∫ (

)

∫

◄

v) Agar m va n butun juft sonlar bo‘lib, ulardan hech bo‘lmaganda bittasi

manfiy bo‘lsa, yuqoridagi usulni qo‘llab bo‘lmaydi. Bu holda

yoki

almashtirishdan foydalaniladi.

23-Misol.

∫

integralni hisoblang.

►∫

∫

| | ∫

∫

. ◄

g) Agar

bo‘lsa ham, yoki almashtirishdan

foydalaniladi.

24-Misol.

∫

integralni hisoblang.

►∫

∫

| ∫

∫ (

)

| ◄

∫ ko‘rinishdagi integrallar

Agar

va trigonometrik funksiyalarga nisbatan ratsional bo‘lgan

kabi ifodalarni integrallash lozim bo‘lsa, ko‘p hollarda universal

almashtirish deb ataluvchi

almashtirishdan foydalaniladi. Ushbu holda va

larni

formulalar yordamida yarim burchakning

lari orqali ifodalaniladi. Agar bunda

ekanligini nazarda tutsak, quyidagini hosil qilamiz:

∫ ∫ (

)

Oxirgi integral esa bizga yaxshi ma’lum bo‘lgan ratsional funksiyaning

integralidir.

25-Misol.

∫

integralni hisoblang.

►∫

∫

◄

SHunday qilib keltirilgan universal almashtirish yordamida

trigonometrik funksiyalarlarga nisbatan ratsional bo‘lgan ixtiyoriy

funksiyani integrallashni ratsional funksiyani integrallashga olib kelish mumkin ekan.

Lekin amaliyotda bu almashtirish ko‘pincha o‘ta murakkab ratsional funksiyalar

integrallariga olib keladi. Ana shu qiyinchiliklarni chetlab o‘tish uchun ba’zi maxsus

hollarni alohida qarab chiqamiz.

Download 0,53 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10