1-Ma’ruza Kompleks sonlar. Aniqmas integral. Integrallar jadvali. Aniqmas integralning xossalari va hisoblash usullari. Ratsional

Anikmas integral jadvali. 

 

Quyida  biz  asosiy  elementar  funksiyalar  aniqmas  integrallarining  jadvalini 

keltiramiz.  Jadvaldagi  har  bir  formulaning  to‘g‘riligini  differensiallash  yo‘li  bilan 

tekshiriladi. 

1.   

∫  

 

    

 

   

   

                  

2.   

∫

 

 

       | |      

3.   

∫  

 

      

 

     

4.   

∫  

 

    

 

 

   

     

5.   

∫                     

6.   

∫                    

7.   

∫

 

   

 

 

              

8.   

∫

 

   

 

 

                

9.   

∫            |    |      

10.  

∫             |    |      

11.  

∫

 

   

 

                 

12.  

∫

 

 

 

  

 

    

 

 

     

 

 

     

13. 

∫

 

√   

 

                  

14. 

∫

 

√ 

 

  

 

           

 

 

     

15. 

∫

 

 

 

  

 

    

 

  

   |

   

   

|      

16. 

∫

 

√ 

 

  

 

        |    √ 

 

  

 

|       

17. 

∫                       

 

Eslatma.  Bu  jadvalga  qo‘shimcha  ravishda  giperbolik  funksiyalarning 

integrallarni ham qo‘shishimiz mumkin. Keltirilgan integrallar jadvalidagi 9, 10, 15, 16, 

17 formulalarga mos keluvchi formulalar hosilalar jadvalida yo‘q. 17- formulani quyida 

keltiriladigan  bo‘laklab  integrallash  usuli  yordamida  chiqaramiz.  Qolganlarini  esa 

bevosita  differensiallash  yordamida  isbotlash  mumkin.  Masalan,  16  formulani 

tekshiraylik:  

*   |    √ 

 

  

 

|+

 

 

 

    √ 

 

  

 

(   

 

√ 

 

  

 

)  

 

√ 

 

  

 

 

Demak  16  formula  o‘rinli.  Qolgan  formulalarni  ham  xuddi  shu  kabi  teshirishimiz 

mumkin. 

 

 

---

4 

 

 Aniqmas integralni hisoblashning qoidalari 

 

2-Teorema.  O‘zgarmas  ko‘paytuvchini  integral  belgisidan  chiqarib  yozish 

mumkin, ya’ni agar 

              bo‘lsa, u holda 

∫             ∫                                            (6) 

bo‘ladi. 

 

◄Isbot. Bu tenglikning ikkala tomonini differensiallasak, 

 ∫                  ,     ∫        

 

    ∫        

 

       . 

Demak,  berilgan  tenglikning  chap  va  o‘ng  tomonidagi  funksiyalar  bir-  biridan 

o‘zgarmas  songa  farq  qiladi.  Aniqmas  integrallar  o‘zgarmas  son  ma’nosida  teng 

bo‘lganligi uchun, teorema isbot bo‘ldi. ► 

 

3-Teorema.  CHekli  dona  funksiyalar  algebraik  yig‘indisining  integrali 

qo‘shiluvchilar  integrallarining  algebraik  yig‘indisiga  teng  bo‘ladi,  ya’ni:  ∫[ 

 

     

 

 

           

 

   ]     ∫  

 

        ∫  

 

            ∫  

 

     (7) 

 

◄ Isbot.Tenglikning ikkala tomonini differensiallab topsak 

 

[∫[ 

 

       

 

           

 

   ]  ]     

 

       

 

           

 

     

[∫  

 

        ∫  

 

            ∫  

 

     ]     

 

       

 

           

 

     

YUqoridagi  xossadagi  kabi  (7)  tenglikning  ikki  tomoni  o‘zgarmas  ma’nosida  o‘zaro 

teng bo‘lganligi uchun teorema o‘rinli. ► 

 

4-Teorema.  Agar  (2)  tenglik  o‘rinli  bo‘lsa,  har  doim  quyidagilarni  yozish 

mumkin:  

 

∫                                                               (8) 

 

∫          

 

 

                                                 (9) 

 

∫              

 

 

                                            (10) 

 

◄Isbot.  Biz  umumiy  bo‘lgan  oxirgi  holni  isbotlaymiz.  Buning  uchun  (10) 

tenglikning chap va o‘ng tomonlarini differensiallaymiz 

[∫            ]             , 

*

 

 

             +

 

 

 

 

(         )

 

 

 

 

                                       

CHap va o‘ng tomon hosilalari teng, shuning uchun (10) tenglik o‘rinli bo‘ladi.► 

YUqoridagi teoremalar qo‘llanishiga doir misollar qaraylik. 

1-Misol. 

∫ (  

 

 

 

 

√ 

   

 

   )    integralni hisoblang. 

►∫ (  

 

 

 

 

√ 

   

 

   )      ∫ (  

 

 

    

 

 

   

 

   )       

   

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          ◄ 

2-Misol.

 ∫

 

√    

   integralni hisoblang. 

►Integral ostidagi ifodani shakl almashtirsak 

---

5 

 

∫

 

√    

     ∫        

 

 

 

    

Darajali funksiyaning integrali va (7.10) formulaga ko‘ra 

∫

 

√    

    

 

 

      

 

 

 

 

     

 

 

        

 

 

     ◄ 

 

 

Bo‘laklab integrallash va o‘zgaruvchini almashtirish usuli. 

Integrallash 

amali 

– 

differensiallashga 

teskari 

bo‘lganligi 

uchun, 

differensiallashda  qo‘llaniladigan  ko‘pchilik  usullarni  aniqmas  integralni  hisoblashga 

ham  o‘tkazish  mumkin.  Masalan  yig‘indidan  bu  amallar  bir  xil  hisoblanadi  yoki 

o‘zgarmas ko‘paytuvchini ikkala amaldan ham tashqariga chiqarish mumkin.  

Bo‘laklab integrallash usuli. 

Bu  usul  ko‘paytmaning  differensiali  formulasidan  kelib  chiqadi. 

      va          

funksiyalar 

  bo‘yicha differensiallanuvchi bo‘lsin. Bu holda 

                  

yoki 

                  

Oxirgi tenglikni integrallab topsak 

∫       ∫         ∫      

yoki 

∫            ∫                                                 (11) 

Hosil bo‘lgan tenglikka bo‘laklab integrallash formulasi deb ataladi. 

Mazkur  formuladan  foydalanishda  aniqmas  integral  ostidagi  ifodani  shunday 

bo‘laklarga ajratish lozimki, natijada tenglikning o‘ng tomonidagi integral dastlabkisiga 

qaraganda  sodda  integralga  keladigan  bo‘lsin.  Ushbu  formulaning  qo‘llanilishiga  doir 

bir necha misol qaraylik. 

3-Misol. 

 ∫   

  

   ni hisoblang.  

►

  sifatida   ni,     ni  

  

   deb olsak,         va    

 

 

 

  

 bo‘ladi. Demak, 

 

∫   

  

     |

     

       

      

  

  

   

 

 

 

  

|  

 

 

  

  

 

 

 

∫  

  

    

 

 

  

  

 

 

 

 

  

     ◄  

Ko‘rib  turibmizki bir marta bo‘laklash formulasi qo‘llanilganidan so‘ng jadval 

integraliga keldik. 

4-Misol. 

∫       ni hisoblang. 

---

6 

 

►∫         ||

       

    

 

 

  

       

     

||          ∫  

  

 

         ∫                   ◄ 

 

 

 

 

 

, 

 

 

    ,   

 

    ,   

 

   ,   

 

      ,   

 

       ,   

  

         

  

        

kabi  hamda  ularga  o‘xshash  funksiyalar  bo‘laklab  integrallash  usuli  yordamida 

integrallanadi.

  

 

  qatnashgan  hollarda  (

  natural  son)     nechaga  teng  bo‘lsa  shuncha 

marta bo‘laklab integralashga to‘g‘ri keladi. 

5-Misol. 

∫  

 

       integralni hisoblang. 

►∫  

 

         |

     

 

         

           

         

|     

 

         ∫               

  |

     

       

           

        

|     

 

                  ∫           

    

 

                            ◄ 

 

 

  ∫  

  

          va   

 

  ∫  

  

          kabi  integrallarni  hisoblashda 

integral  ostidagi  ifoda 

 

  

   ,                yoki                kabi  bo‘laklariga 

ajratiladi.  Bo‘laklab  integrallash  formulasi  bir  marta  qo‘llanilganda  yana  yuqoridagi 

integrallarga  o‘xshash  integrallar  hosil  bo‘ladi.  U  yerda  yana  bir  marta  bo‘laklab 

integrallash  usulini  qo‘llaniladi.  Natijada  yana  dastlabki  integralga  o‘xshash  integral 

hosil bo‘ladiki, uni chap tomonga  o‘tkazib dastlabki integral hisoblanadi.  

►∫  

  

          ||

     

  

       

  

  

            

     

 

 

     

||    

 

 

 

  

       

 

 

 ∫  

  

           

  ||

     

  

       

  

  

            

   

 

 

     

||    

 

 

 

  

       

 

 

*

 

 

 

  

       

 

 

∫  

  

       +     

SHunday qilib 

∫  

  

           

 

 

 

  

       

 

 

*

 

 

 

  

       

 

 

∫  

  

       +   

Oxirgi tenglikdan izlanayotgan integralni topamiz 

∫  

  

         

 

  

               

 

 

  

 

     ◄