1-Ma’ruza: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi. Gauss usuli. Matritsa determinantini Gauss usuli bilan hisoblash. Teskari matritsani Gauss usuli bilan hisoblash. Iteratsiya usuli

Endi yuqoridagi Gauss usulida bajarilgan amallarning formulalarini ko‘rsatish uchun quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini topish tartibini ko‘ramiz:
(12)
Aytaylik, berilgan sistemada (etakchi element) bo‘lsin, aks holda tenglamalarning o‘rinlarini almashtirib, x₁ oldidagi koeffitsienti noldan farqli bo‘lgan tenglamani birinchi o‘ringa ko‘chiramiz.
Sistemaning birinchi tenglamasining barcha koeffitsientlarini a₁₁ ga bo‘lib,

bundan
(13)
birinchi yetakchi tenglamani hosil qilamiz, bu yerda.

Bu topilgan (13) tenglamadan foydalanib, yuqoridagi sistemaning qolgan tenglamalaridagi x₁ qatnashgan hadni yo‘qotish mumkin. Buning uchun (13) tenglamani ketma-ket a₂₁, a₃₁ va a₄₁ larga ko‘paytirib, mos ravishda sistemaning ikkinchi, uchinchi va to‘rtinchi tenglamalaridan ayiramiz.
Natijada quyidagi uchta tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
(14)
bu sistemadagi koeffitsiyentlar
, ( i=2,3,4; j=2,3,4,5) (15)
formula yordamida hisoblanadi. Endi (14) sistemaning birinchi tenglamasini yetakchi element a⁽¹⁾₂₂ ≠0 ga bo‘lib,
(16)
ikkinchi etakchi tenglamani hosil qilamiz, bu yerda

(16) tenglama yordamida (14) sistemaning keyingi tenglamalaridan x₂ ni, yuqoridagidek, qoida asosida, yo‘qotamiz va quyidagi tenglamalar sistemasini topamiz:
(17)
bu yerda
(18)
(17) sistemaning birinchi tenglamasini etakchi element ga bo‘lib,
(19)
uchinchi etakchi tenglamani hosil qilamiz, bu yerda

Bu (19) tenglama yordamida (17) sistemaning ikkinchi tenglamasidan x₃ ni yo‘qotamiz. Natijada
,
tenglamani hosil qilamiz, bu yerda
(20)
Shunday qilib, biz qarayotgan sistemani unga ekvivalent bo‘lgan quyidagi uchburchakli chiziqli tenglamalar sistemasiga olib keldik.
(21)
Bu (21) sistemadan foydalanib, ketma –ket quyidagilarni topamiz:
(22)
Demak, yuqorida keltirilgan Gauss usulida sistemaning yechimini topish 2 qismdan iborat bo‘lar ekan.