1-§. Функция х,осиласининг таърифлари

и (и = (р(х))
нуктада f'(u) уоси лага эга
б улса , y = f ( ц ( х ) )
м ураккаб функция х нуктада уоси лага эга ва
У' = (У(ф ( * ) ) ) ' = f ' ( “) ■
(6)
булади.
Исбот. х узгарувчига Ах(Ах=#=0)
орттирма берамиз. Унда
ы = ф(х) функция Ли = Лф(х)
орттирмага, y = f ( u) функция эса
уз навбатида A y = Af ( u ) орттирмага эга булади. Функция орттирмаси
формуласидан фойдаланиб топамиз:
Аи = Аф (х) = ф' (х) • Ах + а • Ах,
А / ( и ) =f'(u) - А а + Р-А «,
бунда Ах->-0 да А и хам нолга интилиб,
li m a = 0 , limp = 0
Дх-»-0 Дх-»-0
245
www.Orbita.Uz kutubxonaisА / ( ф ( х ) ) = / ' ( ф ( * ) ) ‘[ ф ' М - Л х + а - A x ] - f P - А ф( х ) =
— f' (ф М ) -Ц>'(х) -Ах + / ' ( ф ( х ) } • а - А х - Ь Р - Д ф ( х )
тенгликка келамиз. Бу тенгликнинг хар икки томонини Ах га булиб,
сунг Дх->-0 да лимитга утиб топамиз:
Н т ЛЛ^ ~ 1 = Н т Г / '(Ф (х )) -ф'(х) + /'(Ф(х)) - a + p ^ g > - l=
Дх—О
^ х Дх—oL
&х J
= / ' ( ф ( х ) ) - ф ' ( х ) + П ф М ) • lim a + lim p - lim
(Ф( х ) ) ф ' ( х ) .
Дх—0 Дх—0 Дх—О
^ х
Демак,
( Д ф (х ) ) ) ' = П ф (*))- ф'(*).
Бу теорелгани исботлайди.
Мисоллар. 1. Ушбу у = е ~ х функциянинг хосиласини хисоб-
ланг. Бу функцияни у — еи, и = — х деб, сунг (6 ) ф ор му лад ан
фойдаланиб топамиз:
у' — (е ~ х) ' = (еи)' ■ и' = е ~ х ■ ( — 1) = — е ~ х.
б улад и. Н а т и ж а д а м у р а к к а б ф ункц ия орттирм аси учун куйидаги
2. Ушбу
ех — е ~ х ех + е ~ х
у = — о— -
у = —
функцияларнинг хосилаларини топинг. Бу функциялар хосилаларини
топишда юкорида келтирилган коидалардан фойдаланамиз
У'
У
= { ^ : 1 ) ' = \ ( еХ- ^ Г = = ^ Г - (е“ У]=
' = ( ^ Т ~ У = \ ( еХ+ е ~ Г = i t ( О ' + ( * " У ]
2
Одатда y = L — функцияни ги п ер б о ли к синус ф ун кц и я дейила­
ди ва уни sh х каби белгиланади:
.
ех — е ~ х
sn X =
----- ------,
у ==— —— функция эса ги п ер б о ли к косинус ф ун кц и я дейилади ва
ch х каби белгиланади:
I „ —X
,
в -4- е
сп х =
2
Демак,
( s h x ) / = c h x , ( c h x ) ' = s h x .
3. Ушбу y = c o s ( e x— х3) функциянинг хосиласини топинг.
246у = cos и , и = ех — х3 деб белгилаб, (6 ) фо рм ула д ан топамиз:
у ' = (cos и)'-и'= — s i n (е* — х3) - ( — Зх2)
4. Ушбу y = sin2(cos x ) + c o s 2(sin х) функциянинг хосиласини
топинг.
Бу функциянинг- хосиласини топишда мураккаб функциянинг
Хосиласи хамда юкорйда келтирилган коидалардан фойдаланамиз:
г/ = 2 sin(cos х) -cos(cos х) ■ ( — sin х) — 2 cos(sin x)sin(sin х) -cos х =
= — sin x -sin (2 cos x) — cos x -s in (2 sin x).
Энди мисол тарикасида
y = [ f ( x ) Y x) ( f ( x ) > 0 )
функциянинг хосиласини топамиз. Бунда f(x) ва g(x) функциялар
f'(x),g'(x) хосилаларга эга. y = [f (x)]gix) ни л о гариф мл аб топамиз: |
In У = £ ( х ) 1п[/(х)].
Энди мураккаб функциянинг хосиласи ва купайтманинг хосиласи фор-
мулаларидан фойдалансак, [ y' = g ' ( x ) \ n [ f ( x ) ] - \ - g ( x ) • - f ' ( x)
У
i\x)
булади. Бундан эса
y ' = y [ g ' ( x ) l n f ( x ) + j l ^ r ( x ) ) = [ f ( x ) f U){ g ' ( x ) \ n f ( x ) + j ^ r -f ' ( x) ]
экани келиб чикади. Демак,
([f (x)]gix)) ' = U ( x ) ] ^ [ g ' ( x ) \ n f ( x ) + j ^ f ' ( x ) ]