Hosila va uning tadbiqlarini o’rganishda o’quvchilarni kasbga yo’naltirib o’qitish imkoniyatlari 1-teorema. Ferma teoremasi

Hosila va uning tadbiqlarini o’rganishda o’quvchilarni kasbga yo’naltirib o’qitish imkoniyatlari
1-teorema. (Ferma teoremasi) f(x) funksiya biror X oraliqda aniqlangan va bu oraliqning ichki c nuqtasida o’zining eng kata (eng kichik) qiymatiga erishsin. Agar bu nuqtada funksiyachekli _{ } hosilaga ega bo’lsa , u holda _{ } bo’ladi.
2-teorema. (Roll’ teoremasi) f(x) funksiya [a,b] segmental aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. Agar bu funksiya [a,b] segmentning barcha ichki nutalarida ((a,b) intervalda) chekli _{ } hosilag ega bo’lib f(a)=f(b) bo’lsa, u holda shunday c(a_{ } bo’ladi.
Eslatma. Roll’ teoremasining barcha shartlari muhim. Agar keltirilgan shartlardan biri bajarilmasa, teoremaning xulosasi o’rinli bolmay-qolishi mumkin.
Masalan f(x) =1 -|x| funksiya [-1;1] segmentda uzluksiz bo’lib bu funksiya uchun f(-1)-f(+1)=0 bo’ladi. Ammo bu funksiya hosilasi (-1;1) intervalning biror nuqtasida ham nolga aylanadi. Cunki bu funksiya x=0 nuqtada hosilaga ega emas.
3-teorema. (Lagranj teoremasi) f(x) funksiya [a,b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’sin. Agar bu funksiya (a,b ) intervalda chkle _{ } hosilaga ega bolsa, u holda shuday c(a
1-eslatma. Agar (1) formulada f(a)=f(b) deb alonsa, u xolda _{ } bo’lib, Logranj teoremasindan Roll’ teoremasi kelib chiqdi.
2-teorema. (Koshi teoremasi) f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. Agar bu funksiyalar (a,b) intervalda chkli _{ } hosilalarga ega vo’lib, _{ } uchun _{ } bo’lsa, u holda shunday _{ } nuqta topiladiki
_{ }
Tenglik o’rinli bo’ladi.
Xususiy holda g(x)=x bo’lganda Koshi teoremasidan Lagranj teoremasi kelib chiqadi.
1-misol. _{ } funksiya uchun Roll’ teoremasi shartlarini tekshiring.
Yechish: Berilgan f(x) funksiya [1;3] segmentda lifferensiallanuvchi va x=1, x=2, x=3 nuqtalarda nolga aylanadi. Bundan [1,2] va [2,3] segmentalrda f(x) funksiyauchun Roll’ teoremasining barcha shartlari bajariladi.
(1;3) intervalda kamida ikkita nuqtada _{ } bo’ladi. f(x) funksiya hosilasinin olib va uni nolga tenglab.

Tenglamani olamiz, bu tenglama _{ } ildizlarga ega, ularni teoremadagi, c nuqta uchun olamiz, _{ } va _{ } Demak , berilgan funksiya uchun Roll’ teoremasi o’rinli.