Hosila va uning tadbiqlarini o’rganishda o’quvchilarni kasbga yo’naltirib o’qitish imkoniyatlari 1-teorema. Ferma teoremasi

14-Nazorat ishi uchun misollar.

1. 
   _{ } funksiya uchun [-1; 1] oraliqda Roll’ teoremasi o’rinlimi? Javobni asoslang.
   
2. 
   _{ } funksiya uchun _{ } oraliqda Roll’ teoremasi shartlarini tekshiring.
   
3. 
   _{ } segmentda _{ } funksiya uchun Logranj formulasi yozilsin va c nuqta topilsin.
   

(J:_{ })

4. 
   _{ } segmentda _{ } funksiya uchun Logranj formulasi yozilsin va c nuqta topilsin.
   

(J:_{ })

5. 
   _{ } segmentda _{ } funksiya uchun Logranj formulasini tadbiq qilish mumkin emasligi ko’rsatilsin.
   
6. 
   _{ } segmentda _{ } funksiya uchun Logranj formulasi shartlari tekshirilsin.
   
7. 
   _{ } funksiya uchun_{ } segmentda Logranj teoremasi shartlari tekshirilsin.
   
8. 
   _{ } funksiya uchun_{ } segmentda Logranj teoremasi shartlari tekshirilsin.
   
9. 
   _{ } segmentda _{ } funksiya uchun Koshi teoremasi o’rinli ekanligi ko’rsatilsin va c nuqta topilsin (J: _{ })
   
10. 
    _{ } segmentda _{ } funksiya uchun Koshi formulasi yozilsin va c nuqta topilsin (J: _{ })
    

5. Funksiyaning ekstrimum qiymatlari.
f(x) funksiya (a,b) intervalda aniqlangan bo’lib, _{ } bo’lsin.
1-ta’rif. Agar _{ } nuqtaning shunday atrofi _{ } mavjud bo’lsaki, _{ } uchun

Tenglik o’rinli bolda , u xolda f(x) funksiya _{ } nuqtada maksimumga (minmumga) ega deyiladi. _{ } qiymat f(x) funksiyaning _{ } dagi maksimum (minimum) qiymati deb ataladi.
Funksiya maksimum va minimum umumiy nom bilan ekstremumi deb ataladi.
Eslatma. f(x) funksiya [a,b] intervalda bir qancha maksimum va minimumlarga ega bo’lishi mumkin. Bunda funksiyyaning maksimum va minimumlari navbatma – navbat keladi.
1-teoreama. (Ekstrimum mavjud bo’lishi uchun zaruriy shart).
Agar f(x) funksiya _{ } nuqtada chekli _{ } hosilaga ega bo’lib, bu nuqtada f(x) funksiya ekstremumga ega bo’lib, bu nuqtada f(x) funksiya ekstremumga erishda , bu xolda _{ } bo’ladi.
Odanda funksiya hosilasini nolga aylantiriadigan nuqtalar aunksiyaning statsionar nuqtalari deb ataladi.
f(x) =|x-1| funksiyaning x=1 nuqtada hosilasi mavjud emas, lekin x=1 nuqtada bu funksiya minimumga ega boladi.
Demak, funksiya hoslilaga ega bo’lmagan nuqtalarda ham ekstremum mavjud b’lishi mumkin ekan.
Ma’lumki, _{ } funksiyaning x=0 nuqtadagi hosliasi chksiz. Uning grafig quyidagicha:

5-chizma.
Grafikdan ko’rinadiki x=0 nuqtada funksiya minimumga ega. Demak, funksiya hosilasi chksizga aylanadigan nuqtalarda ham ekstemum mavjud bo’lishi mumkin.
Shunday qilib f(x) funksiyaga ekstremum qiymat beradigan nuqtalarni:
Funksiyaning statsionar nuqtalari;
Funksiyaning hosilasi mavjud bo’lmagan yuqtalari;
Funksiyaning hosilasi cheksizga aylanadigan nuqtalari orasidan izlash kerak. Bunday ekstremumga shubxali nuqtalar deb ataladi.
Ekstremumning etarli shartlari.
1-qoida. f(x) funksiya _{ } nuqtada uzluksiz bo’lib, uning _{ }=_{ } atrofida chekli _{ } hosilaga ega bo’lsin.
Agar _{ } uchun _{ } tengsizliklar o’rinli bo’lsa, yani _{ } hosila _{ } nuqtadan o’tishda o’z ishorasini “+” dan “-” ga o’zgartirsa, u holda f(x) funksiya _{ } nuqtada maksimumga ega bo’ladi,, agar _{ } uchun _{ } , _{ } bo’lsa, ya’ni _{ } hosila _{ } nuqtada minimumga ega bo’ladi.
Eslatma. f(x) funksiyaning _{ } nuqtada uzluksiz bo’lishi muhim. Masalan ushbu

Funksiya hosilasi _{ } bo’lib , hosila x=0 nuqtadan o’tishda o’z ishorasini “ - ” dan “+” ga o’zgartirsa ham, berilgan funksiya x=0 nuqtada ekstemumga (minimumga ) ega emas, chunki funksiya x=0 nuqtada uzluksiz emas.
1-misol. _{ } funksiyaning ekstremumlari topilsin.
Yeshish. _{ } – statsionar nuqta.
_{ } da _{ } bo’lgani uchun x=2 nuqtada funksiya maksimumga erishadi.

2-qoida. (ekstrimumni topishda yuqori tartibli hosilalardan foydalanish) f(x) funksiya _{ } nuqtada _{ } hosilalarga ega bo’lib, biror _{ } son uchun _{ } bo’lsin.

1. 
   Agar n-juft son, yani n=2m bo’lib. _{ } tengsizlik o’rinli bo’lsa, f(x) funksiya _{ } nuqtada minimumga ega bo’ladi.
   
2. 
   Agar n-toq son, ya’ni n=2m+1 bo’lsa, f(x) funksiya _{ } nuqtada ekstrimumga ega bo’lmaydi.
   

Funksiyaning eng kichik va eng kata qiymatlari (absolyut ekstrimum).
f(x) funksiya [a,b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lsin Veyershtrassning ikkinchi teoremasiga ko’ra funksizning [a,b] eng kata va eng kichik qiymatlari mavjud bo’ladi va qiymatlarga [a,b] segmentda erishiladi. Funksiyaning eng kata qiymati uchun uning (a,b) lagi barcha maksimum qiymatlri , hamda f(a) f(b) qiymatlr echidna eng kattasi olinadi.
Shunga uxshash eng kichik qiymati uchun (a,b) lagi minimum qiymatlari bilan f(a) , f(b) qiymatlari orasidan eng kichigi olinadi.
15-Nazorat ishi uchun misollar
Quyidagi funksiyalarning ekstremum qiymatlarini toping.