Hosila va diffеrеnsial. Hosila tushunchasiga olib keladigan masalalar Reja

y=log_ax (a>0, a1, x>0) logarifmik funksiyaning hosilasi

Bu funksiya x=a^y funksiyaga nisbatan teskari funksiya bo‘lgani uchun teskari funksiyaning hosilasini topish qoidasiga ko‘ra ya’ni . Xususan, formula o‘rinli.

Bu formulalardan quyidagi muhim xulosani chiqarish mumkin: =0, ammo (log_ax)’ geometrik nuqtai nazardan y=log_ax funksiya grafigiga abssissasi x ga teng bo‘lgan nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientiga teng. Shunday qilib, =0, ya’ni =0, bu esa yyetarlicha katta x lar uchun urinma abssissalar o‘qiga «deyarli parallel» bo‘lishini anglatadi. Bu holni funksiya grafigini chizishda hisobga olish zarur.
log_au(x) funksiya uchun quyidagi formula o‘rinli: .


Trigonometrik funksiyalarning hosilalari
y=sinx funksiyaning hosilasi
Funksiyaning x nuqtadagi orttirmasini sinuslar ayirmasi formulasidan foydalanib topamiz: .
Funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbati
ga teng. Bu tenglikda birinchi ajoyib limit va cosx funksiyaning uzluksizligini e’tiborga olgan holda limitga o‘tsak,
bo‘ladi.
Demak, (sinx)’=cosx formula o‘rinli.
y=cosx funksiyaning hosilasi
Bu funksiyaning hosilasini topish uchun cosx=sin(x+/2) ayniyat va murakkab funksiyaning hosilasini topish qoidasidan foydalanamiz. U holda (cosx)’=(sin(x+/2))’=cos(x+/2) (x+/2)’=cos(x+/2)1=cos(x+/2).
cos(x+/2)=-sinx ayniyatni e’tiborga olsak, quyidagi formulalarning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi: (cosx)’=-sinx.
y=sinx va y=cosx funksiyalarning hosilalarini quyidagi fizik mulohazalardan foydalanib ham keltirib chiqarish mumkin. Faraz qilaylik birlik aylanada burchak tezligi =1 rad/s bo‘lgan nuqta harakatlanayotgan bo‘lsin (10-chizma). Vaqtning boshlang‘ich momentida nuqta A₀, vaqtning t momentida A holatda bo‘lsin. U holda A₀A yoyning uzunligi t ga, A₀OA markaziy burchak t radianga teng bo‘ladi. Sinus va kosinusning ta’riflariga ko‘ra A nuqtaning ordinatasi sint, abssissasi esa-cost ga teng.
10-chizma Demak, A nuqtaning abssissa o‘qidagi proeksiyasi B nuqta x=sint qonuniyat bilan, ordinata o‘qidagi proeksiyasi S nuqta y=cost qonuniyat bilan harakat qiladi. Shu harakatlarning tezliklarini topamiz.
Ma’lumki, A nuqtaning chiziqli tezligi v=R formula bilan ifodalanadi. Bizning holimizda =1, R=1 bo‘lganligi sababli v=1 bo‘ladi. Chiziqli tezlikni ikkita- gorizontal va vertikal- tashkil etuvchilarga ajratamiz. A nuqta tezligining vektori , bu erda | |=1, aylanaga A nuqtada o‘tkazilgan urinma bo‘ylab yo‘nalgan. Shu sababli Ox o‘qi bilan t+/2, Oy o‘qi bilan t burchak tashkil qiladi. Demak, uning Ox o‘qiga proeksiyasi (ya’ni B nuqtaning tezligi) v_x=cos(t+/2)=-sint ga, Oy o‘qiga proeksiyasi v_y=cost ga teng bo‘ladi.
Tezlik yo‘ldan vaqt bo‘yicha olingan hosila bo‘lganligi, B nuqtaning harakat qonuni x=cost, tezligi v_x=-sint ekanligini e’tiborga olsak, (cost)’=-sint degan xulosaga kelamiz.
Shunga o‘xshash, S nuqtaning harakat qonuni y=sint, tezligi v_x=cost ekanligini e’tiborga olsak, (sint)’=cost degan xulosaga kelamiz.