Hosila olish

Egri chiziqqa o‘tkazilgan urinma

Avval egri chiziqqa o„tkazilgan urunmaning umumiy ta‟rifini beramiz.

Uzluksiz L egri chiziqda M va
M₁ nuqtalarni olamiz (1-shakl).

M va M₁
nuqtalar orqali o„tuvchi
MM₁ to„g„ri chiziqqa kesuvchi deyiladi.

M₁ nuqta L egri chiziq bo„ylab siljib, M nuqtaga cheksiz yaqinlashsin.
U holda kesuvchi M nuqta atrofida aylangan holda qandaydir MT limit holatiga intiladi.

Berilgan L egri chiziqqa berilgan M nuqtada o‘tkazilgan urinma deb,
MM₁

kesuvchining
M₁ nuqta L egri chiziq bo„ylab siljib M nuqtaga cheksiz

yaqinlashgandagi MT limit holatiga aytiladi.

Endi
M (x; y)
nuqtada vertikal bo„lmagan urinmaga ega bo„lgan
y  f (x)

uzluksiz egri chiziq grafiini qaraymiz va uning
k  tg
burchak koeffitsiyentini

topamiz, bu yerda   urinmaning Ox o„q bilan tashkil qilgan burchagi. Buning

uchun M nuqta va grafikning
x  x
abssissali
M₁ nuqtasi orqali kesuvchi

o„tkazamiz (2-shakl). Kesuvchining Ox o„q bilan tashkil qilgan burchagini 
bilan belgilaymiz.
2-shakldan topamiz:

tg  ^{| M1 N |}  ^y 
f (x  x) 
f (x)_.

| MN | x x

x  0
da funksiyaning uzluksizligiga asosan y
ham nolga intiladi. Shu

sababli
M₁ nuqta egri chiziq bo„ylab siljib, M nuqtaga cheksiz yaqinlashadi.

Bunda
MM₁ kesuvchi M nuqta atrofida aylangan holda MT urinmaga yaqinlashib

boradi, ya‟ni   . Bundan
lim   
x0
yoki
lim tg  tg.
x0

Shuning uchun urinmaning burchak koeffitsiyenti


(1)

To‘g‘ri chiziqli harakat tezligi

M material nuqta (biror jism) qandaydir to„g„ri chiziq bo„ylab tekis harakat

qilayotgan bo„lsin. Vaqtning har bir t qiymatiga boshlang„ich M ₀
holatdan

M nuqtagacha bo„lgan muayyan
s  M ₀ M
masofa mos keladi. Bu masofa t vaqtga

bog„liq, ya‟ni s masofa vaqtning funksiyasi bo„ladi:
s  s(t).

s(t) funksiyaga nuqtaning harakat qonuni deyiladi.

Nuqtaning t vaqtdagi harakat tezligini aniqlash masalasini qo„yamiz.

Agar biror t vaqtda nuqta M holatda bo„lsa, u holda t  t ( t  vaqtning

orttirmasi) vaqtda nuqta
M₁ holatga o„tadi,

bu yerda
M₀ M₁  s  s
( s  masofaning

orttirmasi) (3-shakl). Demak, M nuqtaning
t vaqt oralig„idagi ko„chishi

s  s(t  t)  s(t)
ga teng bo„ladi.

^s nisbat nuqtaning t
t


vaqt

3. 
   shakl
   

oralig‘idagi o‘rtacha tezligini ifodalaydi:
^vo 'r
 ^s . Bunda o„rtacha tezlik t
t

qiymatga bog„liq bo„ladi: t
qancha kichik bo„lsa, o„rtacha tezlik nuqtaning

berilgan t vaqtdagi tezligini shuncha aniq ifodalaydi.

Harakat o„rtacha tezligining
t vaqt oralig„i nolga intilgandagi limitiga

nuqtaning berilgan vaqtdagi harakat tezligi ( yoki oniy tezligi) deyiladi. Bu tezlikni v bilan belgilaymiz. U holda


(2)

Shunday qilib, nuqtaning berilgan t vaqtdagi harakat tezligini aniqlash uchun

2. 
   limitni hisoblash kerak bo„ladi.
   
   1. 
      va (2) ko„rinishdagi limitlarni topishga tabiatning turli sohalariga tegishli ko„pchilik masalalar olib keladi. Bunday masalalardan ayrimlarini keltiramiz:
      

1. 
   agar
   

Q  Q(t)
o„tkazgichning ko„ndalang kesimi orqali t vaqt ichida

o„tuvchi elektr toki bo„lsa, u holda elektr tokining t vaqtdagi momenti


(3)

2. 
   agar
   

N  N(t)
t vaqt ichida reaksiyaga kirishuvchi kimyoviy modda

miqdori bo„lsa, u holda kimyoviy moddaning t vaqtdagi reaksiyaga kirishish tezligi


(4)

3. 
   agar
   

m  m(x)
bir jinsli bo„lmagan sterjenning
O(0;0) va
M (x;0)
nuqtalar

orasidagi massasi bo„lsa, u holda sterjenning x nuqtadagi zichligi

(5)

Ko„rilgan masalalar fizik mazmuninig turliligiga qaramasdan, (1-5) limitlar bir xil ko„rinishga ega: ularda funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbatining argument orttirmasi nolga intilgandagi limitini topish talab

qilinadi.

Hosilaning ta’rifi, geometrik va mexanik ma’nolari

Hosilaning ta’riflari

y  f (x)
funksiya
(a;b)
intervalda aniqlangan bo„lsin. Ixtiyoriy
x₀ (a;b)

nuqtani olamiz va bu nuqtada x argumentga x
orttirma ( x₀  x (a;b))

beramiz. Bunda funksiya
y 
f (x₀  x) 
f (x₀ ) orttirma oladi.

1-ta’rif. Agar lim ^y limit mavjud va chekli bo„lsa, bu limitga


f (x)

0

0
x0 _x
funksiyaning x₀ nuqtadagi hosilasi deyiladi belgilanadi.
f ^(x )


(yoki
y^(x )
yoki ^ ) kabi

y
x x₀

Shunday qilib,


. (6)

Agar
x₀ ning biror qiymatida
lim ^y   ^ lim ^y  ^


bo„lsa, u holda




x0 _{x } x0 _{x }

funksiya
x₀ nuqtada musbat ishorali (manfiy ishorali) cheksiz hosilaga ega

deyiladi. Shu sababli 1-ta‟rif bilan aniqlanadigan hosila chekli hosila deb yuritiladi.

Misollar. 1.
f (x)  x³
funksiyaning
x  x₀
nuqtadagi hosilasini topamiz.

Buning uchun
x₀ nuqtada x argumentga x
orttirma beramiz va funksiyaning mos

orttirmasini topamiz:
y 
f (x₀
 x)  f (x₀
)  (x₀
 x)³  x³ 

0
 (x  x  x )(x²  2x x  x²  x²  x x  x² )  x(3x²  3x x  x² ) .
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Orttirmalar nisbatini tuzamiz:


^y  3x²  3x x  x² .

_x 0 0

Bu nisbatning
x  0
dagi limitini topamiz:

y^(x
)  lim ^y  lim (3x 2  3x x  x² )  3x 2 .

⁰ x0 _{x
x0} 0 0 0

2. f (x)  tg a x,
x₀  x
funksiyaning hosilasini hosila ta‟rifini va tangenslar

ayirmasi formulasini qo„llab, topamiz:
f ^(x)  (tgax)^  lim ^{tg(ax  ax)  tgax} 

 lim ^{sin ax}  lim

x0

1
x

 a  ¹


 ^a .

x0 _x
^x0 cos(ax  ax)cosax
cos² ax
cos² ax

2-ta’rif. y 
f (x) funksiyaning x₀
nuqtadagi o‘ng (chap) hosilasi deb

f ^(x
)  lim ^y
 f ^(x
)  lim
y _

limitga aytiladi.


^{ 0} x0 _x ^{  0}

x0 _{x }

Misol.
f (x) | x  3|
funksiyaning
x₀  3
nuqtadagi o„ng va chap hosilalarini

topamiz. Berilgan funksiyaning
x₀  3 nuqtadagi orttirmasini topamiz:

U holda
y 
f (3  x)  f (3) | 3  x  3|  | 3  3 || x | .

lim
^y  lim
| x | _{ lim}
^x  1,


lim
^y  lim
| x | _{ lim}
^{ x}  1.

x0 _x
x0 _x
x0 _x
x0 _x
x0 _x
x0 _x

Bu misolda
f_^(0) 
f_^(0).
Shu sababli
f (x) | x  3|funksiya uchun

x  0 da
y _ | x |
nisbatning limiti mavjud emas va
f (x) | x  3|
funksiya

x x
x₀  3 nuqtada hosilaga ega bo„lmaydi.
Funksiya hosilasining yuqorida keltirilgan ta‟riflaridan ushbu tasdiqlar kelib

chiqadi: agar funksiya
x₀ nuqtada hosilaga ega bo„lsa, funksiya shu nuqtada bir-

biriga teng bo„lgan o„ng va chap hosilalarga ega bo„lib,
f_^(x₀ ) 
f_^(x₀ ) 
f ^(x )

0
bo„ladi; agar funksiya
x₀ nuqtada o„ng va chap hosilalarga ega bo„lib,

f_^(x₀ ) 
f_^(x₀ ) 
f_^(x₀ )
f_^(x₀ ) 
bo„lsa, funksiya shu nuqtada hosilaga ega va

0
f ^(x ) bo„ladi.

Funksiyaning hosilasini topishga funksiyani differensiallash deyiladi.

Agar
y  f (x)
funksiya biror oraliqda aniqlangan bo„lsa va
f ^(x)
hosila bu

oraliqning har bir nuqtasida mavjud bo„lsa, u holda

f ^(x)  lim
x0
f (x  x) 
x
f (x)

formula
f ^(x)
hosilani x ning funksiyasi sifatida aniqlaydi. Bundan keyin, agar

y  f (x)
funksiyani differensiallashda nuqta ko„rsatilmagan bo„lsa, hosilani

x ning mumkin bo„lgan barcha qiymatlarida topamiz va
y^(x)
deb yozamiz.