Hosila olish

Hosilaning geometrik va mexanik ma’nolari

Egri chiziqqa o„tkazilgan urinma haqidagi masalada urinmaning burchak koeffitsiyenti uchun ushbu
k  tg  lim ^y
x0 _x
tenglik hosil qilingan edi.

Bu tenglikni
f ^(x)  tg  k
ko„inishda yozamiz, ya‟ni
f ^(x)
hosila

y  f (x)
funksiya grafigiga
M (x, f (x))
nuqtada o„tkazilgan urinmaning burchak

koeffitsiyentiga teng. Bu jumla hosilaning geometrik ma’nosini ifodalaydi.
To„g„ri chiziqli harakat haqidagi masalada ushbu
^{v } lim ^s

limit hosil qilingan edi.

t 0 _t

Bu limitni
v  s^
ko„rinishda yozamiz, ya‟ni material nuqta harakat qonunidan

t
t vaqt bo„yicha olingan hosila material nuqtaning t vaqtdagi to„g„ri chiziqli harakat tezligiga teng. Bu jumla hosilaning mexanik ma’nosini ifodalaydi.

Umulashtirgan holda, agar
y  f (x)
funksiya biror fizik jarayonni ifodalasa,

u holda y^ hosila bu jarayonnig ro„y berish tezligini ifodalaydi deyish mumkin. Bu jumla hosilaning fizik ma’nosini anglatadi.

Egri chiziqqa o‘tkazilgan urinma va normal tenglamalari

y  f (x)
funksiya bilan aniqlangan egri chiziqqa
M (x₀ ; y₀ )(bu yerda

y₀  f (x₀ ) ) nuqtada o„tkazilgan urinma tenglamasini hosilaning geometrik
ma‟nosidan keltirib chiqaramiz.

Urinma
M ₀ (x₀ ; y₀ )
nuqtadan o„tadi. Shu sababli uning tenglamasini

y  y₀  k(x  x₀ )
ko„rinishda izlaymiz. Hosilaning geometrik ma‟nosiga ko„ra

0

y  y₀  f ^(x₀ )(x  x₀ )
Bundan
urinma tenglamasi kelib chiqadi.
k_ur 
f ^(x ) .
(7)

Egri chiziqqa o’tkazilgan normal deb, urinish nuqtasida urinmaga perpendikulyar bo„lgan to„g„ri chiziqqa aytiladi.

Egri chiziqqa
M ₀ (x₀ ; y₀ )
nuqtada o„tkazilgan normal shu nuqtada o„tkazilgan

urinmaga perpendikulyar bo„lgani sababli

Bundan
^knorm.
  ^1
kur.
  ¹ .

0
f ^(x )


(8)

normal tenglamasi kelib chiqadi (agar
f ^(x )  0 bo„lsa).

0
Differensiallah qoidalri va formulalari

Yig‘indi, ayirma, ko‘paytma va bo‘linmani differensiallash

Funksiyaning hosilasi ta‟rifidan foydalanib ikki funksiya yig„indisi, ayirmasi, ko„paytmasi va bo„linmasini differensiallash qoidalarini keltirib chiqaramiz.

3-teorema. Agar
u  u(x)
va v  v(x)
funksiyalar x nuqtada

differensiallanuvchi bo„lsa, u holda bu funksiyalarning yig„indisi, ayirmasi,

ko„paytmasi va bo„linmasi (bo„linmasi
v(x)  0 shart bajarilganda) ham x nuqtada

differensiallanuvchi va quyidagi formulalar o„rinli bo„ladi:
u ^ u^v  v^u

 
1. (u  v)^  u^  v^ ; 2.
(u  v)^  u^v  v^u;
_3.   _
v
, (v  0) .
_v2

 


Isboti. 1. Funksiyaning hosilasi va limitlar haqidagi teoremalardan foydalanib topamiz:
_{(u  v)  lim} (u(x  x)  v(x  x))  (u(x)  v(x)) _
x0 _x

_{ lim } u(x  x)  u(x) _ v(x  x)  v(x) _{ }


x0_{ x}

x _

_{ lim} u(x  x)  u(x) _{ lim} v(x  x)  v(x) _{ lim}
^u  lim
^v  u^  v^.

x0 _x
x0 _x
x0 _x
x0 _x

2. Formulani isbotlashda 2-teoremadan foydalanamiz: x nuqtada

differensiallanuvchi
u  u(x)
va v  v(x)
funksiyalar shu nuqtada uzluksiz

bo„ladi. Shu sababli
x  0 da
u  0 va
v  0 .

_{(u  v)  lim} u(x  x)  v(x  x)  u(x)  v(x) _
x0 _{x
 lim} (u(x)  u)  (v(x)  v)  u(x)  v(x) _
x0 _{x
 lim} u(x)  v(x)  u(x)  v  v(x)  u  u  v  u(x)  v(x) _
x0 _x

 lim ^ v(x)  ^u  u(x)  ^v  v  ^{u }  v(x)  lim
^u  u(x)  lim
v _



x0_{ x}
x x ^

x0 _x

x0 _x

 lim v  lim ^u  u^  v  u  v^  0  u^  u^v  v^u.

x0 x0 _x
 u(x  x) _ u(x) u(x)  u _ u(x)

_3.  ^u 
 lim
v(x  x)
v(x)
 lim
v(x)  v
v(x) _

 

 ^v 
x0 _x
x0 _x

_{ lim} u(x)  v(x)  v(x)  u  u(x)  v(x)  u(x)  v _{ lim} v  u  u  v _

x0
x  v(x)  v v(x)

^x0 x  (v²  v  v)

v  ^u  u  ^v
v  lim ^u  u  lim <sup>v


</sup>  ^


_{ lim} x x _

x0 _x

x0 _x

_ u v v u _.

x0
v²  v  v
v²  v  lim v v²
x0

Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari

Asosiy elementar funksiyalarning hosilalarini topishda 17-§ da keltirilgan ekvivalent cheksiz kichik funksiyalardan, teskari va murakkab funksiyalarni differensiallash formulalaridan hamda yig„indi, ayirma, ko„paytma va bo„linmani differensiallash qoidalaridan foydalanamiz.

1. O‘zgarmas funksiya:

y  C ( C  R ). O„garmas funksiya butun sonlar

o„qida o„zgarmas qiymatini saqlagani uchun ixtiyoriy nuqtada uning orttirmasi nolga teng bo„ladi. Shu sababli

(C)^  lim ^y  lim ⁰  0.
x0 _x x0 _x

2. Darajali funksiya:

y  x^ , bunda   R,  0 . Bu funksiya uchun
x  0 da

_{ x }^ 

bo„ladi. Bundan
y  (x  x)^
 x^
 x^{ }_1  _
 ^x 
 1^


_ x _
_1  _  1
^y  x^{  x } .
x x
_ x _ x

x  0 da
_1 

_ 1 ~  ni hisobga olib, topamiz:
^x  ^x
_ x _

lim
_1 _
^y  x^ lim ^{ x }
1
 x^ lim
x
 x^ lim ^

 x^{ 1} .

Demak,
x0 _x
x0
x ^x0 x  x
(x^ )^  x^{ 1}.
x0 _x

1 ^ 1 1

Xususan, ^{ }   , ( x )^  .
^{ x  x2} 2 x
 

3.