Hisoblash usullari fanidan laboratoriya ishlari

LABORATORIYA ISHI № 12

Interpolyatsiyalash tushunchasi.
Nyutonning birinchi interpoliyatsion formulasi.


Funktsiyalarni interpolyatsiyalash jadval tuzishga nisbatan teskari masaladir. Funktsiya qiymatlarining jadvali tuzilganda funktsiyaning analatik ifoda bo’yicha uning qiymatlari topiladi, interpolyatsiyalashda esa, aksincha, funktsiyaning jadvaldagi qiymatlari bo’yicha uning analitik ifodasi tuziladi.
Aytaylik, EMBED Equation.3 funktsiyaning faqat jadvaldagi qiymatlari berilgan bo’lsin, ya’ni argument EMBED Equation.3 bo’lganda funktsiyaning qiymatlari EMBED Equation.3 ma’lum bo’lsin ya’ni
EMBED Equation.3
Funktsiyaning ma’lum qiymatlariga ko’ra uning analitik ifodasini topish masalasi, geometrik nuqtai nazardan, EMBED Equation.3 nuqtalar berilganda, bu nuqtalar orqali o’tuvchi egri chiziqni topishni bildiradi (6-chizma). Berilgan nuqtalardan cheksiz ko’p egri chiziqlar o’tkazish mumkinligi o’quvchiga ravshan bo’lishi kerak. Shunday qilib, EMBED Equation.3 funktsiyaning qiymatlariga ko’ra, uning analitik ifodasini topish masalasi juda ko’p yechimlarga egadir, ya’ni bunday funktsiyalarni cheksiz ko’p tuzish mumkin.
Berilgan nuqtalarda berilgan qiymatlarni qabul qiluvchi istalgan funktsiyani EMBED Equation.3 bilan belgilaymiz. Yuqorida aytib o’tilganidek, EMBED Equation.3 funktsiya istalgancha ko’p bo’lishi mumkin.
Faraz qilaylik, EMBED Equation.3 funktsiya ixtiyoriy bo’lmay, ba’zi shartlarni qanoatlantirishi kerak bo’lsin, unda bu funktsiyani topish anchagina aniq masalaga aylanib qoladi. Shunday qilib, biz quyidagi ko’rinishdagi masalaga keldik. EMBED Equation.3 ning EMBED Equation.3 va EMBED Equation.3 qiymatlari uchun shunday EMBED Equation.3 ko’phadni topish kerakki, bu ko’phad n-chi darajali bo’lsin va quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
EMBED Equation.3 (1)
Boshqacha qilib aytganda, bu erda, berilgan nuqtalarda berilgan qiymatlarni qabul qiluvchi ko’phadni topish masalasi qo’yilgan ekan. Bunday masala interpolyatsiyalash deyiladi, nuqtalar interpolyatsiyaning tugunlari deyiladi.
Yuqoridagi shartlarni qanoatlantiruvchi EMBED Equation.3 funktsiya interpolyatsion ko’phad deyilib, bu ko’phadni tuzish uchun ishlatiladigan formulalar interpolyatsion formulalar deyiladi.
Interpolyatsion formulalarni qo’llashning asosiy ma’nosi shundaki, faqat jadvaldagi qiymatlari malum bo’lgan EMBED Equation.3 funktsiyani uning taqribiy analitik ifodasi deb qaraladigan ko’phadga almashtiriladi. Bunda tabiiy ravishda EMBED Equation.3 va EMBED Equation.3 ga almashtirishning qanday darajada aniq bajarilganligi va xatoni baholash kabi masalalar kelib chiqadi. Bu masalalarni keyingi laboratoriyalarda ko’rib chiqamiz.
EMBED Equation.3 funktsiyani uning interpolyatsion ko’phadi bilan almashtirish, avvalo, funktsiyaning oraliq qiymatlarini topish zarur bo’ladi. Lekin interpolyatsion ko’phadni qo’llanishi faqat shu bilan chegaralanib qolmaydi. Bunday almashtirish EMBED Equation.3 funktsiyaning analitik ifodasi juda murakkab bo’lib, EMBED Equation.3 funktsiya ustida turli matematik amallar bajarish (Masalan, EMBED Equation.3 funktsiyani integrallash) lozim bo’lganda ishlatiladi. EMBED Equation.3 funktsiyaning qiymatlari tajriba natijasida olingan bo’lib, funktsiyaning oraliq qiymatlarini topish qiyin yoki mumkin bo’lmay qolganda, funktsiyaning analitik ko’rinishi noma’lum bo’lganda interpoltsion ko’phadan foydalaniladi.