Handbook of Photovoltaic Science and Engineering

20.5.2 Estimation of the Hourly Irradiation from the Daily
Irradiation
In some cases, the treatment of solar radiation is more easily understood at the instant
time scale, that is, at the radiance level. Because irradiation over an hour (in Wh/m
2
) is
numerically equal to the mean irradiance during this hour (in W/m
2
), irradiance values
can be, to a certain extent, assimilated to hourly irradiation values. However, since the
availability of hourly irradiation data is limited, the problem is how to estimate the hourly
irradiation, given the daily irradiation.
To introduce the solution to this problem, it is highly instructive to observe that,
in terms of extraterrestrial horizontal radiation, the ratio between irradiance,
B
0
(
0
)
, and
daily irradiation,
B
0d
(
0
)
, can be theoretically determined from equations (20.4), (20.14)
and (20.15).
B
0
(
0
)
B
0d
(
0
)
=
π
T
×
cos
ω
−
cos
ω
S
π
180
ω
S
cos
ω
S
−
sin
ω
S
(
20
.
22
)
where the sunrise angle,
ω
S
, is expressed in degrees and
T
, the day length, is usually
expressed in hours.

---

926
ENERGY COLLECTED AND DELIVERED BY PV MODULES
From the examination of data from several stations, it has been repeatedly
noted [19, 24] that, considering long-term averages of terrestrial radiation, the corres-
pondence between the measured ratio of diffuse irradiance to diffuse daily irradiation,
r
D
=
D(
0
)/D
d
(
0
)
, and this theoretical expression for extraterrestrial radiation (equation 20.22)
is quite good, while the correspondence between the measured ratio of global irradiance
to global daily irradiation,
r
G
=
G(
0
)/G
d
(
0
)
, and this expression, although not perfect, is
quite close, so that a slight modification is required to fit the observed data. The following
expressions apply [21]:
r
D
=
D(
0
)
D
d
(
0
)
=
B
0
(
0
)
B
0d
(
0
)
(
20
.
23
)
and
r
G
=
G(
0
)
G
d
(
0
)
=
B
0
(
0
)
B
0d
(
0
)
(a
+
b
cos
ω)
(
20
.
24
)
where
a
and
b
are obtained from the following empirical formulae:
a
=
0
.
409
−
0
.
5016
×
sin
(ω
S
+
60
)
(
20
.
25
)
and
b
=
0
.
6609
+
0
.
4767
×
sin
(ω
S
+
60
)
(
20
.
26
)
Note that
r
D
and
r
G
have units of
T
−
1
, and that they can be extended to calculate
irradiations during short periods centred on the considered instant,
ω
. For example, if we
wish to evaluate the irradiation over one hour between 10:00 and 11:00 (in solar time),
we set
ω
= −
22
.
5
◦
(the centre time of the considered period is 10:30, i.e. one hour and
half, or 22.5
◦
, before noon) and
T
=
24 h. If we wish to evaluate the irradiation over one
minute, we just have to express
T
in minutes, that is, we set it to 1440, the number of
minutes in a day.
An example can help in the use of these equations: the calculation of the irradiance
components at several moments along the 15 April in Portoalegre–Brasil (
φ
= −
30
◦
),
knowing the global daily irradiation,
G
d
(
0
)
=
3861 Wh/m
2
. The results are as follows:
d
n
=
105
⇒
B
0d
(
0
)
=
7562 Wh
/
m
2
⇒
K
Td
=
0
.
5106
⇒
F
Dd
=
0
.
423
⇒
D
d
(
0
)
=
1633 Wh
/
m
2
ω
S
= −
84
.
51
◦
π
180
ω
S
cos
ω
S
−
sin
ω
S
=
0
.
8542
a
=
0
.
6172
b
=
0
.
4672
r
D
=
0
.
0922
(
cos
ω
+
0
.
0967
)
h
−
1
r
G
=
r
D
(a
+
b
cos
ω)

---

RADIATION ON INCLINED SURFACES
927
ω
◦
r
D
[h
−
1
]
r
G
[h
−
1
]
D
(0) in
[Wm
−
2
]
G
(0) in
[Wm
−
2
]
B
(0) in
[Wm
−
2
]
ω
s
0
0
0
0
0
±
60
0.0618
0.0529
100.94
204.25
103.31
±
30
0.1177
0.1211
192.24
467.58
275.34
0
0.1382
0.1508
225.73
582.24
356.51
0
0.05
0.1
0.15
0.2
−
80
0
w
80
−
40
40
r
D
r
G
Figure 20.13
Plots of irradiance to daily irradiation ratios, for both diffuse and global radiation,
r
D
and
r
G
, along the day at a latitude
φ
= −
30
◦
for 15 April
Figure 20.13 plots
r
D
and
r
G
versus the solar time, along the day. It is interesting to
observe that
r
G
is slightly more sharp-pointed than
r
D
. This is because, due to air mass
variations, beam transmittance is higher at noon that at any other moment of the day.
Obviously, integrating the areas below both,
r
D
and
r
G
must be equal to one. As already
mentioned, for this calculation it can be assumed that the irradiation over one hour (in
Wh/m
2
) is numerically equal to the mean irradiance during this hour and also equal to
the irradiance at the instant half way through the hour. For example, the global irradiance
at noon,
G(
0
)
=
580
.
4 W/m
2
can be identified with the hourly irradiation from 11:30 to
12:30,
G
h
(
0
)
=
580
.
4 Wh/m
2
. This assumption does not introduce significant errors and
it greatly simplifies the calculations by eliminating the need to evaluate integrals with
respect to time, which, otherwise, can be quite tedious.
From these equations, it can be deduced that, on any day of the year and anywhere
in the world, 90% of the total global horizontal irradiation is received during a period
centred around midday and of length equal to two-thirds the total sunlight day length.
Consequently, a stationary receiver tilted to the equator (
α
=
0) captures all the useful
energy in this period. The same need not be true, however, of receivers that track the sun.