Guruh mi/S5103 Talabaning F. I. Sh To’xtanazarov Ilhomjon

Tа’rif. y=f(x) funksiyasining аrgumеnt оrttirmаsi x0 dа ungа mоs kеluvchi funksiya оrttirmаsi y0 bo`lsa, u hоldа y=f(x) funksiya x=x<sub>0</sub> da uzluksiz dеyilаdi vа y=0 kabi yozilаdi. x=x<sub>0</sub>+x, x=x-x<sub>0</sub>, y=f(x<sub>0</sub>+x)-f(x<sub>0</sub>), y=f(x)-f(x<sub>0</sub>)
y= (f(x<sub>0</sub>+x)-f(x<sub>0</sub>))= (f(x<sub>0</sub>+x-х<sub>0</sub>)-f(x<sub>0</sub>))= (f(x)-f(x<sub>0</sub>))=0 Misоllar
1) y=2x+1 funksiyaning uzluksizligi ko`rsаtilsin.
y+y=2(x+x)+1, ayirmani topamiz y=2x+2x+1-2x-1, y=2x
y= 2x =0
2) y=x³
y+y=(x+x)³
y=x³+3x²x+3x(x)²+x³ y=x³+3x²x+3xx²+x³-x³
y=x(3x²+3xx+x²)
y=  (3x²+3xx+x²)x=0.
3) f(x)=cosx funksiyaning x₀R nuqtada uzluksiz bo`lishini ko`rsating.
Yechish. x₀R nuqtani olib unga x orttirma beraylik. Natijada f(x)=cosx ham ushbu y=cos(x₀+x)-cosx₀ orttirmaga ega bo`lib,va -<x< bo`lganda
|y| = |cos(x₀+x) - cosx₀|=
munosabatga ega bo`lamiz. Bundan esa x0 da y0 bo`lishi kelib chiqadi.
Aytaylik, y=f(x) funksiya xR to`plamda aniqlangan bo`lib, x₀(x₀X) to`plamning (o’ng va chap) limit nuqtasi bo`lsin. Bunda xx₀ da f(x) funksiya uchun quyidagi uch holdan bittasigina bajariladi:
1) chekli f(x₀-0), f(x₀+0) chap va o`ng limitlar mavjud va
f(x<sub>0</sub>-0)=f(x<sub>0</sub>+0)=f(x<sub>0</sub>) tenglik o`rinli. Bu holda f(x) funksiya x=x₀ da uzluksiz bo`ladi;
2) f(x<sub>0</sub>-0), f(x<sub>0</sub>+0) lar mavjud, lekin f(x<sub>0</sub>-0)=f(x<sub>0</sub>+0)=f(x<sub>0</sub>) tengliklar bajarilmaydi, u holda f(x)x=x<sub>0</sub> nuqtada bir tur uzilishga ega deyiladi;
3) f(x<sub>0</sub>-0), f(x<sub>0</sub>+0) larning birortasi cheksiz yoki mavjud emas. Bu holda x<sub>0</sub> nuqtada 2 tur uzilishga ega deyiladi;
4) f(x<sub>0</sub>-0)=f(x<sub>0</sub>+0)f(x<sub>0</sub>) bo`lsa bunday uzilish, bartaraf qilish mumkin bo`lgan uzilish deyiladi.
Misol. Ushbu f(x)=[x] funksiyaning x<sub>0</sub>=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligini ko`rsating.
Yechish. Demak,  [x]=1, =2
Bundan esa berilgan funksiyaning x₀=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligi kelib chiqadi.
Uzluksiz funksiyaning xossalari
Berilgan f(x) va q(x) funksiyalar X to`plamda aniqlangan bo`lib, x₀X nuqta X to`plamning limit nuqtasi bo`lsin.
1-teorema. Agar f(x) va q(x) funksiyalar x₀ nuqtada uzluksiz bo`lsa u holda f(x)q(x), f(x)q(x), : (q(x)0), xX funksiyalar ham x<sub>0</sub> nuqtada uzluksiz bo’ladi.
1-misol. Ushbu f(x)=3x<sup>3</sup>+sin<sup>2</sup>x funksiyaning x=R da uzluksizligini ko`rsating.
Yechish. (x)=x, q(x)=sinx funksiyalar R uzluksiz. Bunda f(x) funksiyani f(x)=3xxx+sinxsinx ko`rinishda yozamiz, u holda uzluksiz funksiyalar ustidagi arifmetik amallarga ko`ra, f(x) funksiyaning R da uzluksizligi kelib chiqadi.
2-teorema. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo`lsa, u holda [a;b] kesmada funksiya o`zining eng kichik va eng katta qiymatiga erishadi, ya’ni shunday   nuqtalar mavjudki, barcha  lar uchun   va   tengsizliklar o`rinli bo`ladi.
Funksiyani  qiymatini y=f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi eng katta qiymati deb,   ni esa eng kichik qiymati deb ataymiz. Bu teorema qisqacha bunday ifodalanadi: kesmada uzluksiz
funksiya hech bo`lmaganda bir marta eng katta M qiymatga va eng kichik m qiymatga erishadi.

3-teorema. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo`lib, bu kesmaning uchlarida turli ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda [a,b] kesmada hech bo`lmaganda shunday bir x=c nuqta topiladiki, bu nuqtada funksiya nolga aylanadi:  f(c)=0; a.

Misol.  funksiya berilgan. Bu funksiya [1; 2] kesmada uzluksiz. Demak, bu kesmada  nolga aylanadigan nuqta mavjud. Haqiqatdan ham   da y=0

4-Teorema. y=f(x) funksiya [a,b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo`lsin. Agar kesmaning uchlarida funksiya teng bo`lmagan f(a)=A, f(b)=B qiymatlarni qabul qilsa, u holda funksiya A va B sonlar orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi. U holda A< shartni qanoatlantiradigan ixtiyoriy   son uchun kamida bitta c[a;b] nuqta mavjudki, unda   tenglik to`g`ri bo`ladi.
3-teorema bu teoremaning xususiy holi, chunki A va B lar turli ishoralarga ega bo`lsa, u holda   ni o‘rnida O ni olish mumkin.