Guruh 101 kechki Talabaning F. I. Sh Normatova Durdona

4-§. Ikkinchi tur egri chiziqli integralni mavjudlik sharti va uni hisoblash

1. Egri chiziqli integralni mavjudligi. Biz ikkinchi tur integralni mavjud bo‘lishligining ba’zi yetarli shartlarini ko‘rib chiqamiz.
Aytaylik, to‘g‘rilanuvchi AB egri chiziq tenglamalar bilan berilgan bo‘lib, va funksiyalar oraliqda uzluksiz, funksiya shu oraliqda uzluksiz hosilaga ega va parametrning qiymatiga A nuqta, qiymatida B nuqta mos kelsin (3-rasm).
funksiya uchun integral yig‘indini tuzamiz:

yig‘indini t o‘zgaruvchi orqali ifodalaymiz.
t parametning AB egri chiziqning bo‘linish nuqtalariga mos kelgan qiymatlarini bo‘lakchadan olingan nuqtalarga mos kelgan qiymatlarni orqali belgilaymiz, ya’ni,

va
.
U holda integral yig‘indi quyidagi ko‘rinishni oladi:

funksiya har bir oraliqda Lagranj teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun oraliqda biror nuqta topilib, tenglik o‘rinli bo‘ladi, bu yerda .
Bularga asosan integral yig‘indi ni quyidagicha yozib olamiz:

Bu yig‘indida bo‘lganda, u funksiyaning integral yig‘indisini ifodalagan bo‘lar edi. Umuman olganda va lar turlicha bo‘lib, bu yig‘indi integral yig‘indini ifodalamaydi.
ayirmani orqali belgilab, yig‘indini quyidagicha yozib olamiz:
(1)
funksiya AB egri chiziqda, funksiyalar oraliqda uzluksiz bo‘lgani uchun (1) tenglikning o‘ng tomonidagi birinchi qo‘shiluvchi oraliqda uzluksiz bo‘lgan funksiyaning integral yig‘indisi.
Demak, y oraliqda integrallanuvchi, ya’ni bu yerda bo‘lakchalarning uzunliklarini eng kattasi.
(1) tenglikning o‘ng tomonidagi ikkinchi qo‘shiluvchi da nolga intiladi. Haqiqatan, funksiya oraliqda uzluksiz bo‘lgani uchun u shu segmentda chegaralangan, ya’ni shunday K son topilib, ixtiyoriy uchun
(2)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
funksiya oraliqda uzluksiz bo‘lgani uchun u shu oraliqda tekis uzluksiz, ya’ni, har bir uchun, shunday son topilib, bo‘lganda tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
AB yoyni shunday mayday bo‘laklarga bo‘laylikki, natijada ayirma uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda tengsizlik o‘rinli bo‘lib, bundan
(3)
tengsizlik kelib chiqadi.
(2) va (3) tengsizliklardan
tengsizlikni hosil qilamiz. Bundan esa
(4)
kelib chiqadi.
(1) va (4) tengliklardan
(5)
tenglikni hosil qilamiz.
Shunga o‘xshash funksiya AB yoyda uzluksiz, funksiya oraliqda uzluksiz hosilaga ega bo‘lsa, u holda
(6)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Agar AB yoyda va funksiyalar uzluksiz, va funksiyalar oraliqda uzluksiz va hosilalarga ega bo‘lsa, u holda integral mavjud va ushbu formula o‘rinli: . (7)