Guruh 101 kechki Talabaning F. I. Sh Normatova Durdona

3-§. Ikkinchi tur egri chiziqli integralning asosiy xossalari

1º. Agar funksiya AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiya ham AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lib tenglik o‘rinli.
2º. Agar va funksiyalar AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiyalar ham shu yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lib, tenglik o‘rinli.
3º. (additivlik xossasi). Agar AB yoy biror C nuqta orqali AC va CB yoylarga ajratilgan bo‘lib, funksiya AC va CB yoylarning har biri bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiya AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lib, tenglik o‘rinli.
Bu xossalarning isboti ta’rifdan osongina kelib chiqadi.
4º. Agar egri chiziqli integral mavjud bo‘lsa, u holda egri chiziqli integral ham mavjud bo‘lib tenglik o‘rinli.
Haqiqatdan, B nuqtani AB yoyning boshlang‘ich nuqtasi A ni esa oxirgi nuqtasi deb hisoblasak, u holda bo‘linish nuqta nuqtadan oldin keladi va integral yig‘indidagi son songa almashib, integral yig‘indi yig‘indiga almashadi.
Bundan tenglikni hosil qilib, limitga o‘tsak
ya’ni, tenglikni hosil qilamiz.
5º. Agar funksiya yopiq L-kontur bo‘ylab integrallanuvchi bo‘lsa, u holda egri chiziqli integralning qiymati L konturdagi qaysi nuqtani boshlang‘ich nuqta (bu nuqta oxirgi nuqta ham bo‘ladi) deb olinishiga bog‘liq emas.
Isbot. A va lar teng bo‘lmagan ixtiyoriy nuqtalar bo‘lsin (5-rasm).
5-rasm
A nuqtani boshlang‘ich (va albatta oxirgi) nuqta deb, egri chiziqli integralni ko‘rsatilgan yo‘nalish bo‘yicha hisoblasak
(1)
tenglikka ega bo‘lamiz.
Agar nuqtani boshlang‘ich nuqta deb olsak, u holda
(2)
tenglikka ega bo‘lamiz.
(1) va (2) larning o‘ng tomonlari bir hil qo‘shiluvchilardan iborat. Shuning uchun chap tomonlari ham teng bo‘ladi. Demak, xossa isbotlandi.
L-o‘z-o‘zini kesmaydigan yopiq kontur bo‘lganda musbat va manfiy yo‘nalishlar hisobga olinadi.
Agar yopiq kontur bo‘ylab harakatlanma kontur bilan chegaralangan sohaning shu nuqtaga yaqin bo‘lgan qismi kuzatuvchidan chap tomonda qolsa, bunday yo‘nalish musbat yo‘nalish (28-rasm, a), agar o‘ng tomonda qolsa, bunday yo‘nalish manfiy yo‘nalish deb qabul qilinadi (6-rasm, b).
6-rasm
1. Sodda AB egri chiziqda va funksiyalar va bu egri chiziqni  bo`laklarga ajratish usuli  berilgan bo`lsin. Har bir bo`laklarda ixtiyoriy  nuqta tanlab olib,


integral yig`indilarni tuzamiz, bu yerda va lar bilan mos ravishda yoyning x va u o`qlaridagi proeksiyalari belgilangan.
Agar da S_T (P) va S_T(Q) yig`indilarning limitlari mavjud bo`lsa, u holda bu limitlar P(x,y) va Q(x,y) funksiyalardan olingan ikkinchi tur egri chiziqli integrallar deyiladi va mos ravishda belgilanadi.
yig`indini Ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning umumiy ko`rinishi deb atash va kabi yozish qabul qilingan.
2. Oddiy aniq integralga keltirish.
Agar AB egri chiziq

parametrik tenglamalar bilan berilsa, u holda ikkinchi tur egri chiziqli integral
(1)
formula bo`yicha hisoblanadi.
Agar egri chiziq  tenglama bilan berilsa, (1) formula
(2)
ko`rinishni oladi.
Agar - kuch maydoni bo`lsa, bu kuchning moddiy nuqtani egri chiziq bo`ylab siljitishda bajargan ishi W ikkinchi tur egri chiziqli integral bilan ifodalanadi:
.
3. Agar P(x,y) va Q(x,y) funksiyalar uchun
(1)
shart bajarilsa, u holda ifoda biror u(x,y) funksiyaning to`la differensiali bo`ladi va integral integrallash yo`liga bog`liq bo`lmaydi, faqat A va V nuqtalarning berilishi bilan bir qiymatli aniqlanadi.
To`la differensiali bo`yicha funksiyaning o`zi

yoki

formula orqali topiladi.
4. Ikki karrali va egri chiziqli integrallarni bog`lovchi

formula Grin formulasi deyilib, bu formuladan foydalanib, D sohaning yuzini quyidagicha ifodalash mumkin:
,
bu yerda G – D sohaning chegarasi.