Группы, их подгруппы. Циклические группы

I. Группы, их подгруппы. Циклические группы.

1. Образует ли группу относительно операции сложения:
1) множество всех действительных чисел;
2) множество всех неотрицательных действительных чисел;
З) множество всех рациональных чисел;
4) множество всех нечетных чисел;
5) множество всех чисто мнимых комплексных чисел;
2. Образует ли группу относительно операции умножения:
1) множество всех рациональных чисел;
2) множество всех положительных действительных чисел;
З) множество всех ненулевых комплексных чисел;
4) множество всех комплексных чисел, по модулю равных 1;
5) множество всех ненулевых чисто мнимых комплексных чисел;
3. Образует ли группу данное множество квадратных матриц порядка n:
Относительно сложения:
1) множество всех верхних треугольных матриц;
2) множество всех матриц с нулевым следом;
З) множество всех вырожденных матриц;
Относительно умножения:
4) множество всех невырожденных матриц;
5) множество всех матриц-перестановок, в каждой строке и каждом столбце которых один элемент равен 1, а остальные – нулю.
4. Доказать, что если квадрат любого элемента группы равен единичному элементу, то группа абелева.
5. Доказать, что группа простого порядка является циклической.
6. Пусть a – элемент порядка p, а b – элемент порядка q некоторой группы, причем числа p и q взаимно просты и ab = ba. Доказать, что элемент ab имеет порядок pq, так что подгруппа является циклической.
7.Проверить, что множество комплексных корней степени n из единицы является циклической подгруппой мультипликативной группы комплексных чисел С*. Доказать, что любая конечная подгруппа в группе С* совпадает с для некоторого n.
8. Найти порядки элементов и подгруппы в группе: 1) целых чисел, кратных 6; 2) классов целых чисел по модулю 24 (с операцией сложения); 3) ненулевых классов по модулю 11 (с операцией умножения).
9. Доказать, что в группе G порядки сопряженных элементов x и равны.
II. Изоморфизмы групп
10. Доказать, что группы изоморфны:
1) группа комплексных чисел относительно операции сложения и группа параллельных переносов плоскости относительно операции умножения (композиции);
2) группа комплексных чисел, по модулю равных 1, относительно операции умножения, и группа поворотов плоскости вокруг фиксированной точки относительно операции умножения;
3) группа всех действительных чисел относительно операции сложения и группа положительных действительных чисел относительно операции умножения;
4) группа классов вычетов по модулю n, группа комплексных корней степени n из 1 и группа вращений правильного n-угольника.
11. Показать, что матрицы вида образуют относительно сложения группу, изоморфную группе комплексных чисел , а ненулевые матрицы того же вида – относительно умножения группу, изоморфную группе .
12. Доказать, что существуют только две неизоморфные группы, содержащие по четыре элемента. Привести примеры для обоих случаев.
13. Доказать, что группа диэдра степени 4 (группа симметрий квадрата) и группа кватернионов не изоморфны (указание: посчитайте число элементов каждого порядка в той и другой группе).
III. Гомоморфизмы, нормальные подгруппы и факторгруппы.
14. Определить разбиение группы на левые и правые смежные классы (а) по подгруппе ; (б) по подгруппе .
15. Установить изоморфизмы (а) (по сложению); (б) (по умножению); (в) (где - группа комплексных чисел, равных 1 по модулю); (г) . Верно ли, что ?
16. Проверить, что четверная группа является нормальной подгруппой в группах S₄ и A₄.


IV. Конечнопорождённые абелевы группы

1. 
   Разложить в прямую сумму подгрупп группы: .
   
2. 
   Определить с точностью до изоморфизма абелевы группы порядка 48.
   
3. 
   Изоморфны ли группы и ?
   
4. 
   Разложить в прямую сумму циклических групп факторгруппу , где A – свободная абелева группа с базисом , а B – ее подгруппа с образующими , причем .
   
5. 
   Разложить в прямое произведение примарных циклических подгрупп группу обратимых классов вычетов по модулю 18 (по умножению).