Gruppalar gomomorfizmi va izomorfizmi Ta’rif

_{Teorema 2. Aytaylik f G gruppaning G1 ga akslantiruvchi gomorfizmi bo’lsin. U holda f bir qiymatli <=> ker f={e}.
Isbot. f ni bir qiymatli deb olamiz. Aytaylik a ker f. Keyinchalik f(a)=e1=f(e). Bundan f bir qiymatli ekanligidan a=e. Bundan ker f={e}. Aksincha ker f={e} deb olsak, a,b G. Endi esa f(a)=f(b). Bundan
f(ab-1)=f(a)f(b-1)=f(a)f(b)-1=e1.
Bundan ab-1 ker f={e} va shuningdek ab-1=e, misol uchun, a=b. Bu esa f ni bir qiymatli ekanligini isbotlaydi.
Teorema 3. Aytaylik f G gruppaning G1 ga akslantiruvchi gomorfizm bo’lsin. U holda ker f G ning normal qism gruppasi bo’ladi.
Isbot. e ker f dan ker f≠ . Aytaylik a,b ker f bo’lsin. Bundan f(ab-1)=f(a)f(b-1)=f(a)f(b)-1=e1(e1)-1=e1e1=e1. Bundan esa ab-1 ker f va bundan ker f G ning qism gruppasi. Aytaylik a G va h ker f. f(aha-1)=f(a)f(h)f(a-1)=f(a)f(h)f(a)-1=f(a)e1f(a)-1=e1. Shuning uchun aha-1 ker f. Bu esa a ker fa-1 ker f. Bundan, ker f G ning normal qism gruppasi bo’ladi.
Teorema 4. Aytaylik H G ning normal qism gruppasi bo’lsin. G ni G/H faktor gruppaga akslantiruvchi akslantirishni quyidagicha olamiz: a G uchun g(a)=aH. U holda g syurektiv gomomorfizm va ker g=H bo’ladi(bu gomomorfizm tabiiy gomomorfizm deyiladi).
Isbot. Aytaylik a,b G bo’lsin. Bundan g(ab)=abH=(aH)(bH)=g(a)g(b). Demak g gomomorfizm. a ker g <=> g(a)=eH <=> aH=eH <=> e-1a H <=> a H. Bundan ker g=H.
Ta’rif. f G gruppani G1 gruppaga akslantiruvchi gomomorfizm bo’lsin. Agar f bieksiya bo’lsa, f izoforfizm hamda G va G1 gruppalar izomorf gruppalar deyiladi. G gruppani o’zini o’ziga akslantiruvchi izomorfizm avtomorfizm deyiladi.
Teorema 5. Aytaylik f G gruppani G1 gruppaga akslantiruvchi izomorfizm bo’lsin. U holda quyidagilar o’rinli:}

1. 
   _{f-1:G1 G ham izomorfizm.}
   
2. 
   _{G kommutativ <=> G1 kommutativ.}
   
3. 
   _{Barcha a G uchun, (a)= (f(a)).}
   
4. 
   _{G siklik <=> G1 siklik.}
   

_{Teorema 6. Barcha tartibi n ga teng siklik gruppalar (Zn,+n) gruppaga va barcha cheksiz siklik gruppalar (Z,+) gruppaga izomorfdir.
Isbot. Aytaylik G=(,*) tartibi n ga teng siklik gruppa bo’lsin. f:G Zn funksiyani quyidagicha aniqlaymiz: barcha ai G lar uchun f(ai)=[i] o’rinli. Endi esa ai=aj <=> aj-e=e <=> n|(j-e) <=>[i]=[j] <=>f(ai)=f(aj). Bundan f ni bir qiymatli ekan. f(aiaj)=f(ai+j)=[i+j]=[i]+n[j]=f(ai)+nf(aj). Bundan f bir qiymatli va G hamda Zn lar elementlari soni teng. Demak f izomorfizm.
Aytaylik G=} cheksiz siklik gruppa. f:G Z akslantirishni quyidagicha aniqlaymiz: barcha i _{Z uchun f(ai)=i o’rinli. Bundan ai=aj <=> ai-j=e <=> i-j=0 <=> i=j, va bizda f bir qiymatli funkisiyaning G dan Z ga akslantirilishi mavjud. Demak bu gruppalar izomorf.}