Gruppa tushunchasi

1-teorema. va gruppalarning gomomorfizmida :

1) bunda va -birlik elementlar;

2) dan kelib chiqadi.

Isboti. 1. va desak, , bir tomondan , ikkkinchi tomondan bo`lgani uchun akslanishning bir qiymatliligiga asosan ni xosil qilamiz. bundan esa kelib chiqadi.

2. va dan xosil bo`ladi. Lekin, . shu sababli bo`lib , bundan ga kelamiz.

Teoremaning ikkinchi qismiga muvofiq,

dan

=

ni xosil qilamiz. endi tenglikda o`rniga ni olsak va ni nazarda tutsak , = yoki = kelib chiqadi. Yana = ning ekanini xisobga olsak , istalgan butun son uchun

tenglik o`rinli degan xulosaga kelamiz

gruppaning dagi birlik elementga akslanuvchi hamma elementlari to`plamini bilan belgilaymiz .

2-teorema. qism to`plam ning normal bo`luvchisidir.

Isboti. 1. Avval ning da gruppa tashkil etishini ko`rsatamiz; chunki va dan kelib chiqadi, bu ekanini bildiradi . So`ngra chunki dan xosil bo`lgani uchun dir.

∈ sisyemalarning har qaysisi ga qarshli , bunda ga . xaqiqatdan bu sistemalarning . va elementlari uchun va bo`lganligidan , dir. Shu sababli va . Ikkinchi munosabatni chapdan ga va o`ngdan ga ko`paytirib, ni xosil qilamiz. Endi va kelib chiqadi. Buni o`ngdan ga ko`paytirish bilan ni topamiz. Bu esa ning da normal bo`luvchi ekanini tasdiqlaydi.

normal bo`luvchi gomomorfizm yadrosi deyiladi.