Gruppa tushunchasi

Teorema. to`plam sistemalarni ko`paytirishga nisbatan gruppa tashkil etadi.

Isboti. Gruppa tarifidagi to`rtta aksioma bajarilishini ko`rsatamiz.

1. va bir qiymatli . Xaqiqatdan, kelib chiqadi ; bo`lgani uchun (1) sistemalar orasida sistema albatta bor; ko`paytmalarning bir qiymatliligi shundan malumki, (1) dagi barcha sistemalar har xil.

2. .= chunki sistemalrni ko`paytirish assotsiativ ekanini bilamiz.

3. . to`plamda sistema birlik element bo`lib xizmat qiladi, chunki.

4. ., yani ning har bir elementiga da teskari mavjud. Xaqiqatdan, bo`lganligi sababli (1) sistemalar orasida ) sistema albatta bor bo`lib,

dir.

Bu gruppa faktor gruppa deyiladi. gruppa chekli va tartibli , normal bo`luvchi esa tartibli bo`lsa,

yoyilmadan ko`ringanidek, faktor gruppaning tartibi bo`ladi.

Masalan, simmetrik gruppani

Normal bo`luvchi bo`yicha yoysak

=

xosil bo`ladi , bunda = . demak, faktor gruppa

ko`rinishga ega . bu yerda ning tartibi 6 ga , ning tartibi 3 ga teng bo`lganidan, ning tartibi ekanini ko`ramiz.