Grin formulasi Teorema: Agar

Grin formulasi
Teorema: Agar P(x,y) va Q(x,y) funktsiyalar va ularning xususiy hosilalari va lar biror G to’g’ri sohada uzluksiz bo’lsa, u holda
(8)
tenglik o’rinli bo’ladi; L-chiziq G sohaning chegarasi bo’lib, unda integrallash yo’nalishi soat strelkasiga teskari yo’nalishda olingan (musbat yo’nalish).
(8) formula Grin formulasi bo’lib, u egri chiziqli integral bilan ikki karrali integral orasidagi bog’liqlikni ifodalaydi.
Grin formulasida avvalo Q=x, P=0, keyin esa Q=0 P=-y deb olamiz. Agar G soha yuzini S bilan belgilasak, hamda ekanini e’tiborga olsak
(2) formulalarni hosil qilamiz. va lar ixtiyoriy sonlar bo’lib bo’lsin. (2) dagi I-tenglikni ga 2 sini ga ko’paytirib qo’shsak
(3)
formulani hosil qilamiz.
bo’lsa (3) formula
ko’rinishga ega bo’ladi.
3. Egri chiziqli integralni integrallash yo’liga
bog’liq bo’lmaslik sharti
Q
1. ni qaraylik D
P
X(x,y) va Y(x,y) funktsiyalar. D sohada uzluksiz hosilalarga ega.
Qanday shartlarda (1) integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasdan M va N nuqtalar holatiga bog’liq bo’lishini ko’rib chiqaylik. M va N nuqtalarni tutashtiruvchi 2 ta MPN va MQN chiziqlarni qaraylik.
Faraz qilaylik yoki
bo’lsin.
U holda egri chiziqli integralning 1- va 2-xossalariga ko’ra
yoki bo’ladi.
Xulosa: Demak, “Egri chiziqli integral qiymati M va N nuqtalarni tutashtiruvchi chiziq shakliga bog’liq emas, balki bu nuqtalar holstiga bog’liq bo’lar ekan”-degan xulosadan yopiq kontur bo’yicha olingan egri chiziqli integralning qiymati =0 ekanligi ekan.
Bu xulosaning teskarisi ham o’rinli. Quyidagi tabiiy savol tug’iladi o’rinli bo’lishi uchun X(x,y) va Y(x,y) funktsiyalar qanday shartni qanoatlantirishi kerak. Bu savolga quyidagi teorema javob beradi.
Teorema. Faraza qilaylik D sohaning barcha nuqtalarida X(x,y) va Y(x,y) funktsiyalar o’zlarining xususiy hosilalari bilan uzluksiz bo’lsin.
bo’lishi D sohaning barcha nuqtalarida shartning bajarilishi zarur va yetarlidir.