«Giperbola-parabolik tipdagi tenglamalar uchun teskari masala yechimining yagonaligi» mavzusida

2.2.Giperbola-parabolik tipdagi model tenglamalar uchun teskari masala yechimining yagonaligi

Matematik fizikaning teskari masalasi deganda bizto’g’ri masalalar sinifiga kiritishimiz mumkin bo’lmagan masalalarni tushunamiz. U ko’pincha nafaqat yechimni balki qandaydir yetishmayotgan koeffitsiyentni shartni aniqlash bilan bog’liq. Teskari masalalarning asosiy belgisi bo’lib nafaqat yechimni balki matematik-fizikaning qandaydir komponentini aniqlash zaruriyati xizmat qiladi.

To’rtburchak sohada aralash parabola-giperbolik tipdagi tenglamani qaraymiz:

(2.2.1)

Bu yerda, va -berilgan musbat sonlar.D sohada quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi va funksiyalar topilsin:

(2.2.2)

(2.2.3)

(2.2.4)

(2.2.5)

(2.2.6)

(2.2.7)

Ushbu masalalarni yechish uchun u(x,t) yechimni cheksiz qator ko’rinishida izlaymiz.

Bu yerda Shturm-Liuvil masalasining yechimi bo’lib, xos funksiyadir. Xuddi shunga o’xshash , , ni xos funksiyalar bo’yicha Furye qatoriga yoyamiz.

Xos funksiyalarni topish: Yechimni quyidagi ko’rinishda izlaymiz:

Buni (2.2.1) – ifodaga keltirib qo’yamiz.




Yuqoridagi sistemaga Shturm-Liuvil masalasi deyiladi.









Bu yerda - xos son , - ga mos xos funksiya.

Endi quyidagi cheksiz qatorning yechimini izlaymiz:

(2.2.8)
(2.2.9)

(2.2.6) va (2.2.7) – shartlardan quyidagi yangi shart hosil bo’ladi:

(2.2.10)

Bu yerdagi va lar quyidagi formula yordamida topiladi:

(2.2.11)
Endi (2.2.8) tenglikni yechamiz.





(2.2.12)
Bundan so’ng (2.2.9) tenglikni ham yechamiz.
















(2.2.13)
yechimni olamiz.

Bundan esa quyidagi shart kelib chiqadi:

(2.2.14)
(2.2.10) va (2.2.14) shartlardan quyidagilar kelib chiqadi:




Natijada, quyidagini olamiz:
(2.2.15)
Bu sistemadan - larni topib olamiz.




Endi :


ekanligidan foydalanib, topilgan qiymatlarni keltirib qo’yamiz va natijada:
(2.2.16)
(2.2.17)

yechimni olamiz. Demak, (2.2.1) masalaning yechimi (2.2.16) va (2.2.17) ko’rinishida ifodalanar ekan.