«Giperbola-parabolik tipdagi tenglamalar uchun teskari masala yechimining yagonaligi» mavzusida

1.2.1.Misol.q(x)-butun son o`qida x bo’yichauzluksiz funksiya bo`lsin, u(x,y) esa –Koshi masalasining yechimi bo’lsin:

, (x,y) (1.2.1)

, (x,y) . (1.2.2)

Berilgan funksiyalar q(x), (x) larda masala (1.2.1), (1.2.2) korrekt qo`yilgan. Bu masalaning klassik yechimi mavjud bo`lishi uchun (ya`ni dagi uzluksiz va xususiy hosila , larning yechimi) (x) funksiyaning uzluksiz differensiallanishini talab qilish kifoya.

(1.2.1) tenglamani yechilishi:

Berilgan tenglamaning xarateristik tenglamalari:

Tenglamalarni yechib,

(1.2.1) tenglamaning umumiy yechimi:

Oshkor ko’rinishdagi yeshimi:

(1.2.2) boshlang’ich shartdan foydalanib, funksiyaning ko’rinishini aniqlaymiz:

Berilgan (1.2.1) –(1.2.2) masalaning yechimi:

Endi teskari masalani qarylik:

Faraz qilamizki bu shart bajarilgan (1.2.1), (1.2.2) masalaning quyidagi yechim haqidagi qo’shimcha ma’lumot bo`yicha q(x) funksiyani topish masalasini ko`rib chiqamiz:

, . (1.2.3)

(1.2.1), (1.2.2) masalaning yechimi quyidagi formula bilan aniqlaniladi: , (x,y) . (1.2.4)

(1.2.3) shartni hisobga olsak:

, . (1.2.5)

Bu uchun (1.2.1) –(1.2.2) masalaning yechimidan foydalanamiz:

(1.2.5) tenglamadan ko`rinadiki teskari masalaning yechimi (x) funksiya nollar to’plamining o’lchamiga bog`liq. Agar bu o’lcham nolga teng bo’lsa teskari masalaning yechimi yagona bo`ladi, nollar o’lchami musbat bo’lsa cheksiz ko’p yechim mavjud. Faraz qilaylik (x) 0, bo’lsin. Yechim mavjud bo’lishi uchun (x) funksiya quyidagi shartlarni bajarishi kerak: