«Giperbola-parabolik tipdagi tenglamalar uchun teskari masala yechimining yagonaligi» mavzusida

I bob yuzasidan xulosa
I bobda dastlab differensial tenglamalar haqida ma’lumot berilgan. Matematik fizika tenglamalariga qo’yiladigan korrekt va nokorrekt masala tushunchasi ta’rifi keltirilgan. Xususiy hosilali differnsial tenglamalarga qo’yiladigan to‘g’ri masalalar bilan birga teskari masalalar qaralgan. Shuningdek bu masalarning o‘rganilish tarixi ham qaralgan. Teskari masalalar konkret misollarda o‘rganilgan.Matematik fizikaning teskari masalalarining klassifikatsiyasi keltirilgan.

II. GIPERBOLA-PARABOLIK TIPDAGI TENGLAMA UCHUN TESKARI MASALA
2.1.Giperbola parabolik tipdagi model tenglama uchun teskari masalaning qo’yilishi.
Agar qaralayotgan D sohaning turli qismlarida_{ }+F(x,u,_{ }( 2.1.1)
tenglama har xil tipga tegishli bo’lsa uni aralash tipdagi tenglama deyiladi.Xususiy hosilali differensial tenglama tekshirilayotgan sohaning bir qismida parabolik tipga,ikkinchi qismida esa giperbolik tipga tegishli bo’lsa uni aralash yoki giperbola-parabolik tipga tegishli deyiladi.Bu qismlar o’tish chizig’i (yoki sirti)bilan ajraladi,bu chiziqda tenglama parabolik buziladi yoki bo’lmasa,aniqlanmagan bo’ladi.
Aralash tipdagi tenglama uchun chegaraviy masalani XX asrning 20-yillarida birinchi marta Italiyalik matematik Franchisko Trikomi =0 tenglama uchun qo’ygan va tekshirgan.
Aralash giperbola-parabolik tipdagi tenglamalar uchun har xil sohalarda klassik chegaraviy masalalarga misol sifatida Trikomi,Gallerstedta,Bizatze masalalari va ularni o’xshash analogini aytishimiz mumkin.
to’rtburchak sohada aralash parabola-giperbolik tipdagi tenglamani qaraymiz:
(2.1.2)
Bu yerda, va -berilgan musbat sonlar.
Ushbu tenglama uchun quyidagi masalalarni qo’yish mumkin:
Masala1.D sohada quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi va funksiyalar topilsin:
(2.1.3)
(2.1.4)
(2.1.5)
(2.1.6)
(2.1.7)
(2.1.8)
buyerda, va -berilgan yetarlicha silliq funksiyalar bo’lib, ва , .
Masala 2. sohada (2.1.3)-(2.1.8) shartlarni qanoatlantiruvchi va funksiyalar topilsin, bu yerda va -berilgan yetarlicha silliq funksiyalar.
Masala 3. sohada(2.1.3)-(2.1.8)shartlarni qanoatlantiruvchi va funksiyalar topilsin, bu yerda va -berilgan yetarlicha silliq funksiyalar.
Ushbu masalalarni yechish uchun u(x,t) yechimni cheksiz qator ko’rinishida qidiramiz:
,
Bu yerda - berilgan masalaga mos Shtrum-Liuvill masalasining xos sonlari. Xuddi shunga o’xshash , va funksiyalarni xos funksiyalar bo’yicha Fure qatoriga yoyamiz:

Ushbufunksiyalarnimasalalargaqo’yib,vaquyidagichaskleykashartlaridanfoydalanamiz:

Natijada, 1-masala uchun , 2-masala uchun , 3-masala uchun nomalumlar uchun tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
(2.1.9)
(2.1.9) sistemani yechib, biz uchta tenglamaning yechimini olamiz, bu yerda, da
,
da,
.
Shuni ta’kidlash joizki, aralash tipdagi tenglamalarga qo’yilgan to’g’ri chegaraviy masalalar ancha chuqur o’rganilgan.Aralash tipdagi tenglamalarga qo’yiladigan teskari masalalar esa endi o’rganilayapti. Yuqorida aralash parabola-giperbolik tipdagi tenglama uchun teskari masalalar qanday qo’yilishi mumkinligi va uni yechish yo’llari qisqacha bayon etildi.