Гилберт фазоси. 1-таъриф

3-таъриф. чизиқли фазода (1) сколяр кўпайтма (2)-(5) хоссалар билан аниқланган бўлса
(12)
сон нинг нормаси ва
(13)
сон эса ва нинг орасидаги масофа дейилади.
Норма ва масофа учун аввалги барча хоссалар ўринли бўлади.
1-теорема. (12) норма ва (13) масофа учун қуйидаги хоссалар ўринли бўлади:
(14) (15)
(16) (17)
(18) (19)
(20) (21)
(22) (23)
4-таъриф. чизиқли фазода (12) норма ёрдамида аниқланган (13) метрикали фазони -Гилберт фазоси ёки унитар фазо дейилади.
5-таъриф. Агар ва лар учун тенглик бажарилса, дейилади ва нинг лимити дейилади.
7-мисол. 5- мисолдаги ва учун сколяр кўпайтма аниқланган фазони билан белгилаб, лимит тушунчасини киритамиз
(24)
2-теорема. кетма-кетлик гилберт фазосида 1 тадан ортиқ бўлмаган лимитга эга бўлади яъни лимити мавжуд бўлса у ягона бўлади.
6-таъриф. Агар учун тенглик бажарилса, бу
кетма-кетлик, фундаментал кетма-кетлик дейилади.
3-теорема. даги барча кетма-кетлик фундаментал кетма-кетлик бўлади.
Лекин тескариси ўринли эмас, яъни барча фундаментал кетма- кетлик ҳам лимитга эга бўлавермайди.
7-таъриф. Агар учун бўлиб бўлса, фазо тўла фазо дейилади.
8-таъриф. элемент учун да элемент топилса, бу оралиқ нинг атрофи дейилади.
9-таъриф. тўплам фазога тегишли элементлар тўплами бўлса ва элемент нинг қуюқлашиш нуқтаси дейилади, агарда атрофда нинг дан бошқа элементлари ҳам бўлса.
4-теорема. учун элемент даги тўпламнинг қуюқла-шиш нуқтаси бўлади, агарда бўлиб бўлса .