Гидравлика

2.1.9. Центр давления и определение его координат

Точку приложения суммарной силы давления называют центром давления. Определим координаты центра давления l_d и y_d (рис. 2.11). Как известно из теоретической механики, при равновесии момент равнодействующей F относительно не­которой оси равен сумме моментов составляющих сил dF относительно той же оси.

Составим уравнение моментов сил F и dF относительно оси Оу.
(2.54)
Силы F и dF определим по формулам


;
.
Тогда
.
Сокращая выражение на  и sin, получим
,
где - момент инерции площади фигуры относительно оси Оу.
Отсюда
. (2.55)

Заменив Jy=Jc+l²_cпо известной из теоретической механики формуле, где Jc - момент инерции площади фигуры относительно оси, параллельной Оу и проходящей через центр тяжести, получим

. (2.56)

Из этой формулы следует, что центр давления всегда расположен ниже центра тяжести фигуры на расстоянии . Это расстояние называется эксцентриситетом и обозначается буквой е. Координата y_d находится из аналогичных соображений:

,

где J_y1 - центробежный момент инерции той же площади относи­тельно осей y и l. Если фигура симметрична относительно оси, параллельной оси 0l (см. рис. 2.11), то, очевидно, y_d = y_y, где y_c ­ координата центра тяжести фигуры.

Рис. 2.11.
2.1.10. Основы теории плавания тел.
Закон Архимеда и его приложение

Будем считать, что в жидкость плотностью ρ погружено тело объёмом V. Выберем систему координат, ось Z которой направим вниз, а оси X и Y вдоль свободной поверхности. Рассмотрим усилия, действующие на тело со стороны жидкости

Рис. 2.12.

Все горизонтальные составляющие, как было установлено выше, будут уравновешиваться. Для определения вертикальных составляющих выделим в твёрдом теле элементарный цилиндрический объём с площадью поперечного сечения dS. На торцевые поверхности этого объёма действуют силы dF₁ сверху и dF₂ снизу (см. рис. 2.12).
Вертикальная составляющая силы dF₁ будет:

Вертикальная составляющая силы dF₂ будет:

Будем считать, что погруженное в жидкость тело находится в равновесии. Поэтому вес выделенного элементарного цилиндра dG будет уравновешиваться действующими на него силами.

Проинтегрировав это выражение по площади горизонтальной проекции тела, получим:
(2.57)

Это выражение называется законом Архимеда: погруженное в жидкость тело теряет в своём весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость. Другими словами на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости. Эта сила приложена в точке, которая называется точкой водоизмещения.

В зависимости от отношения веса и выталкивающей силы возможны три состояния тела:

• 
  если вес больше выталкивающей силы – тело тонет,
  
• 
  если вес меньше выталкивающей силы – тело всплывает,
  
• 
  если вес равен выталкивающей силе – тело плавает.
  

2.2. Примеры решения задач


Пример 1. Определите полное гидростатическое давление p' на дно сосуда, наполненного водой. Сосуд сверху открыт, давление на свободной поверхности атмосферное. Глубина воды в сосуде
h = 0,6 м.