"Геометрические построения циркулем и линейкой" 46

Задача 1. Построить треугольник по данной стороне, углу, к ней прилежащему, и сумме двух других сторон.
Решение.
Рис.14
1. Анализ. Пусть АВС - искомый (рис.14). Продолжим сторону ВА и на ее продолжении отложим АD=СА. Соединим точки C и D.
В СВD имеем: BD=b+c, BC =a, СВD=B.
Треугольник ВСD можно построить по двум сторонам и углу между ними.
Треугольник САD - равнобедренный, в котором АН - высота и медиана. Проведя серединный перпендикуляр (АН СD), определим вершину А.
2. Построение.
1) СВD, где ВС=а; В и ВD=b+c;
2) НАСD и СН=НD.
3. Доказательство. АВС - искомый, так как он удовлетворяет всем требованиям задачи: ВС=а; ВС+АС=b+c; В равен данному.
4. Исследование. Условие, необходимое для решения задачи, b+c>а. Докажем, что это условие и достаточно, т.е. если оно выполнено, то задача разрешима.
Если b+c>a, то в ВСD С<D, а поэтому возможно провести прямую линию АС по АСD к стороне СD, чтобы АСD=АDC, что позволяет восстановить серединный перпендикуляр к СD.
Задача разрешима при b+с>a и имеет одно решение.
Задача 2. Построить треугольник по двум углам и периметру.


Рис.15
Анализ. Пусть АВС - искомый (рис.15). На продолжении стороны АВ в обоих направлениях отложим отрезки DA=AC и ВЕ=СВ и соединим D с С и Е с С, получим DСЕ, в котором DЕ=Р.
Треугольники DАС и ВЕС - равнобедренные, и АКDС, где DK=KC и ВF  СЕ, и СF=FЕ, что позволит определить вершины А и В. D= А, Е= В (свойство внешнего угли треугольника). Значит задача сводится к построению DCE по стороне Р и двум углам: D и Е. Здесь произведено спрямление сторон АС и СВ со стороной АВ.
Задача 3. Построить треугольник по данной стороне, углу, ей противолежащему, и разности двух других сторон.


Рис.16
Анализ. Пусть АВС построен (рис.16). На АС отложим АВ и получим точку D. ВАD - равнобедренный.
В ВDС известны две стороны: ВС=а и DC=b-c. Определим ВDС. Он внешний по отношению к ВАD и равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных, т.е. ВDС=А+DВА.
Н о DВА=АDВ= (180 - А): 2.
Таким образом, ВDC=А+АВD=А+
Итак, задача свелась к построению ВDC по двум сторонам а и b-с и ВDС. Построение: ЕА  ВD, причем ВЕ=ЕD, до пересечения луча СD с ЕА дает положение вершины А.