"Геометрические построения циркулем и линейкой" 46

Разрешимость задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Задачи на построение с помощью циркуля и линейки часто бывают очень трудными, например задача Мальфатти о построении трех окружностей, касающихся сторон треугольника и друг друга. Но бывают задачи вообще не разрешимы с помощью циркуля и линейки. Такова например, задача об удвоении куба: найти ребро куба, который имеет объем в двое раза больший, чем объем данного куба.

Ответ на вопрос о том, разрешима данная задача или нет с помощью циркуля и линейки, дает следующая теорема.
Задача на построения , аналитическое решения которой приводит уравнению, не разрешимому квадратных радикалов не разрешима с помощью циркуля и линейки. И наоборот, если аналитическое решение задачи приводит к ответу, содержащему только рациональные операции и извлечение квадратного корня, то задача разрешима с помощью циркуля и линейки.
Действительно, допустим задача разрешима. Примем плоскость построения за плоскость xy. Тогда, проводя прямые и окружности и проводя параллельно вычисление, связанные с определением точек, пересечения, мы приходим к выражениям, содержащим только рациональные операции и извлечения корня. Это и доказывает первую часть теоремы.
Обратно, если аналитическое решение задачи приводит к ответу, содержащему только рациональные операции и извлечение корня, то ответ может быть найден построением с помощью циркуля и линейки. Для доказательство достаточно вспомнить что циркулем и линейкой могут быть построены выражения a+b, a - b,  ,


2. Сравнительный анализ изложения темы "Геометрические построения циркулем и линейкой" в различных учебниках.

В ходе написания данной дипломной работы был проанализирован ряд учебных пособий, по которым ведётся обучение по теме: "Задачи на построение циркулем и линейкой".

Во всех действующих учебниках по геометрии задачи на построение рассматриваются как самостоятельные в конце 7 класса. Осуществляются следующие элементарные построения: деление отрезка пополам; откладывание угла, равного данному; построение биссектрисы угла; построение перпендикуляра к прямой из данной точки, не лежащей на данной прямой. В качестве метода решения задач на построение в ряде учебников рассматривается метод геометрического места точек. Этим небольшим списком круг задач на построение в учебниках для 7 класса практически исчерпывается.
В 8-9 классах встречаются задания на построение фигур по некоторым заданным элементам. Произвольные треугольники и четырёхугольники строятся по сторонам и углам. Четырёхугольники особых видов (ромбы, квадраты, прямоугольники) - по сторонам и диагоналям. Рассматриваются приёмы описывания и вписывания окружностей в треугольники и четырёхугольники.
В таблице приведён количественный анализ (процент заданий на построение) в некоторых учебниках геометрии для 7,8 классов.

Учебники	Класс	Всего задач в учебнике	Из них на построение	Процент от общего числа задач
Александров А.Д. и др. "Геометрия 7-9"	7	33	8	24
	8	643	95	15
Погорелов А. В. "Геометрия 7-11"	7	218	42	20
	8	298	35	12
Шарыгин И. Ф. "Геометрия 7-9"	7	288	51	18
	8	387	45	12
Атанасян Л.С. и др. "Геометрия 7-9"	7	362	90	25
	8	448	64	14

Рассматривая подробнее эти учебники можно отметить, что в них достаточно высок процент заданий на построение. Сделав сравнительный анализ учебников можно отметить следующее.

1.