"Геометрические построения циркулем и линейкой" 46

Задача 7. Постройте прямоугольный треугольник по:
а) гипотенузе и острому углу;
б) катету и противолежащему углу,
в) гипотенузе и катету.
Р е ш е н и е.
Построение.
а) Сначала строим острый угол равный данному, затем на одной стороне угла откладываем от вершины отрезок равный гипотенузе. Из полученной точки опускаем перпендикуляр на другую сторону угла. Получим искомый треугольник.
б) Даны отрезок PQ и угол hk. Требуется построить прямоугольный треугольник (рис.50), у которого один катет, скажем ВС, равен данному отрезку PQ, а противолежащий

рис.50

угол равный данному hk. Построим сначала угол равный данному.Затем из любой точки М стороны угла восстановим перпендикуляр к этой стороне. Отложим на этом перпендикуляре от точки М, по ту сторону , по которую находится сторона К, отрезок равный PQ, получим точку N. Через точку N проводим прямую параллельную h. получим точку В. Из точки В опустим перпендикуляр ВС.
∆АВС- искомый
в) строим прямой угол. На одной стороне этого угла отложим от вершины отрезок, равный катету. Из конца этого катета, радиусом равным гипотенузе, опишем окружность, которая пересечёт другую сторону прямого угла. Задача имеет решение, если катет короче гипотенузы.
Задача 8. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведенной к ней, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.
Решение:
h


Рис.51
b

m


Анализ.
Допустим, что искомый ∆АВС построен. В этом треугольнике высота BN должна равняться данному отрезку h медиана МА -данному отрезку m и сторона АС- данному отрезку b. Ясно что сразу ∆АВС мы построить не можем. Начинаем искать дополнительные построения, которые показали бы путь к построению. Продолжим медиану AM за точку М и отложим на продолжении отрезок МК =АМ. Из точки М опустим перпендикуляр KL=BN=h, ∆AKL - прямоугольный и в нём известны катет KL и гипотенуза АК=2 m. Такой треугольник мы можем построить. Построив ∆AKL, мы можем перейти к построению искомого.
Построение.
Проводим две параллельные прямые р и l, расстояние между которыми равно длине данного отрезка h . На прямой р выберем точку А. отложим от точки A в одну сторону отрезок b, получим отрезок АС=b. Из точки радиусом равным 2m опишем дугу, которая пересечёт прямую l в точках К и К₁ . через точку С и середину М отрезка АК проведём прямую СМ. она пересечет прямую l в точке В. Соединим точки А и В, получим искомый треугольник ABC. Точно также через точку С и середину М₁ отрезка A K₁ проводим прямую А М₁ . она пересечёт прямую l в точке В₁ .Соединим точки А и В₁, получим ∆АСВ₁ - тоже искомый треугольник. Таким образом, задача имеет два решения.


Рис.52
Доказательство
Построенные треугольники ABC и АВ₁ С оба удовлетворяют всем требованиям задачи. В самом деле: АС=b по построению. Высоты обоих треугольников равны данному отрезку h, так как вершины В₁ и В лежат на прямой l, а l р и расстояние между ними А по построению. И, наконец, AM =m и АМ₁=m тоже по построению.
Исследование
Очевидно, что когда h<2m задача имеет два решения. Когда h=2m, окружность радиуса 2m с центром в точке А коснётся прямой l, тогда задача имеет одно решение. Если 2m