"Геометрические построения циркулем и линейкой" 46

3.3 Построение отрезков, заданных алгебраическим способом

Можно рассмотреть случаи построения отрезков, определенных следующими формулами:

1. 
   
   
2. 
   , где
   
3. 
   , где - натуральные числа;
   
4. 
   (построение четвёртого пропорционального к трём данным);
   
5. 
   ;
   
6. 
   ;
   
7. 
   где .
   

Учитель предлагает учащимся методику построения данных отрезков, а учащиеся должны доказать, что построенный отрезок - искомый.
Построение отрезка х= а (частный случай построения x= ).
На луче ОА откладываем отрезок ОВ=3а, затем на луче ОD (этот луч выбирается произвольно) отрезок 4b, где b - какой-нибудь отрезок. Конец Е отрезка 4b соединяется с В и затем через точки на ОЕ проводятся прямые параллельные ЕВ, точка пересечения этих прямых с ОА делят отрезок ОВ на равные части, длина каждой из которых равна х= а (рис.47).
Рис.41
Построение отрезка х= .
П роводим из общей точки О два луча ОА и ОD, и на них откладываем отрезки ОР=а, ОВ=с и ОЕ=b. Соединим точки Е и В прямой и через точку Р проводим прямую параллельную ЕВ. Пусть Q-точка пересечения этой прямой с ОD. Тогда, ОQ=х, это следует из подобия треугольников ОВЕ и ОQР. Имеем = , отсюда OQ= (рис.48).
Рис.42
Построение отрезка х= .
На отрезке АВ=а+b, где AD=a и DB=b строим полуокружность. Проводим через D перпендикуляр к АВ.
Пусть С-точка его пересечения с окружностью, тогда СD=х. это следует из подобия треугольников АСD и СDB. Имеем: , отсюда СD= =x (рис.49).
Рис.43
Построение отрезка х=а .
На сторонах h и k угла hk откладываем отрезки ОС=1; ОА=а; ОD=1, ОВ=а. Проводим отрезок ВС и затем через точку А проводим прямую параллельную ВС. Пусть Е-точка пересечения этой прямой с лучом k, тогда ОЕ= а .
Действительно треугольники ОВС и ОЕА подобны (они имеют общий угол О и ВС║ЕА) и поэтому , или , т.е. ОЕ= а (рис.50).


Рис.44
Рассмотрим решение нескольких задач.