"Геометрические построения циркулем и линейкой" 46

Задача 3. Дан треугольник ABC. Построить три окружности с центрами соответственно в точках А, В и С так, чтобы они попарно касались друг друга внешним образом.
Решение. Анализ. Пусть АВС - данный треугольник, - его стороны (АВ=c, ВС=a, СА=b), а - радиусы искомых окружностей (рис.51).


Рис.45
Задача будет решена, если мы сможем построить отрезок по известным отрезкам . Имеем: x+y=c, x+z=b, y+z=a. (*) Отсюда получаем: . Построив отрезок по этой формуле, проводим окружность (А,x), а затем две другие окружности: (В, c-x) и (С, b-x). Построение и доказательство опустим.
Исследование. Из формул (*) находим:


. (**)

Из этих формул видно, что задача всегда разрешима, так как в треугольнике АВС и отрезки могут быть построены по формулам (**).

Формулы (**) дают единственные значения радиусов искомых окружностей, поэтому задача имеет единственное решение.
Задача 4. Построить параллелограмм по двум противоположным вершинам, лежащим на сторонах данного четырехугольника, причем остальные вершины параллелограмма также должны принадлежать сторонам данного четырехугольника.
Решение.
1. Анализ.
Пусть искомый параллелограмм построен. На рис.52, а - это параллелограмм АВСD, который вписан в данный четырехугольник LMNK, точки В и D - данные.



Рис.46
Проанализируем, что можно предпринять, чтобы стала видна возможность построения. Пока видно только одно: можно провести диагонали. Проводим диагонали BD и СА (рис.52, б) и тут же замечаем, что точка О их пересечения является центром симметрии параллелограмма. А это значит, что она лежит на пересечении отрезка ML с образом отрезка KN при симметрии относительно точки О. Таким образом, мы нашли способ построения третьей вершины искомого параллелограмма. А четвертую его вершину можно найти, исходя из свойств этой фигуры.
2. Построение. Проведем отрезок BD и разделим его пополам точкой О.
Строим точки K и N , симметричные относительно О точкам K и N соответственно.
Обозначим через А точку пересечения отрезков ML и K N . Строим точку С, симметричную относительно О точке А. Искомая фигура - АВСD (рис.27).
3. Доказательство. Точки А и С, В и D - симметричны относительно точки О по построению. А это значит, что диагонали BD и АС четырехугольника АВСD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует (по определению), что построенный четырехугольник - параллелограмм.
4. Исследование. Успех построения зависит от возможности найти точку А.
Рис.47

Если прямые KN и LM пересекаются, то пересекаются и прямые K N , LM. Тогда задача имеет единственное решение. Это значит, что данный четырехугольник не должен быть ни параллелограммом, ни трапецией с основаниями KN и ML.

Есть и еще одно ограничение. Стороны KN и ML должны быть такими, чтобы пересекались отрезки K N и ML. Иначе пересечение прямых ML и K N вне отрезка ML привело бы к видоизменению задачи.
Если KNLM, то задача имеет либо множество решений (когда прямые MN и K N оказываются параллельными).