"Геометрические построения циркулем и линейкой" 46

Задача 9. Построить трапецию по диагоналям d , d и двум параллельным сторонам а и b.
Решение.
1. Анализ. Предположим, что искомая трапеция построена и в ней проведены диагонали d и d . Попробуем построить фигуру, в которой диагонали присутствовали бы в "целом" виде, т.е. без пересечения друг с другом. Оставим одну диагональ на месте, а другую (допустим, АС) перенесем параллельно на расстояние АD (рис.58, а). Получим треугольник ВЕ D в котором известны три стороны:
ВЕ =а+b, BD= d , DE= d .
Рис.53
Точки В, Е , D позволяют построить параллелограмм АСЕ D, в котором диагональ СD служит стороной искомой трапеции.
Для того чтобы найти другую сторону трапеции (рис.30, б), построим сначала треугольник АСЕ , у которого сторона АЕ является образом при параллельном переносе диагонали ВD на расстояние АD.
При таком анализе построение оказывается совершенно очевидным. Поэтому все последующие этапы решения целесообразно оставить учащимся для домашней работы.
Задача 10. Внутри угла АОВ задана точка F. Построить на стороне ОА точку М, одинаково удаленную от F и от стороны ОВ
Решение.
1. Анализ. Обратимся к рисунку 54. Пусть точка М построена, тогда MF=MP. Это означает, что искомая точка М - есть центр окружности  радиуса МF с центром М, касающуюся стороны ОВ в точке Р.



Рис.54
Если мы возьмем на ОА произвольную точку М и опустим М Р на СВ и найдем F пересечения окружности  с центром М радиуса М Р с прямой ОF, то М F P будет подобен МFР. Отсюда вытекает требуемое построение.
2. Построение. Проводим ОF, берем на СА произвольную точку М и опускаем М Р на СВ. Проводим окружность  радиуса М Р с центром в точке М . Пусть F - точка пересечения этой окружности с ОF. Проводим F M и затем проводим прямую через точку FF M . Точка М пересечения этой прямой с ОА - искомая.
3. Доказательство. Очевидно из проведенного анализа.
4. Исследование. Задача имеет 2 решения. Это следует из того, что окружность пересекается с ОF в 2-х точках.