Geodeziya laboratoriya

HAQIQIY XATOLIKLAR BO‘YICHA ANIQLIKNI BAHOLASH MISOLI

Haqiqiy uzunligi 125,43 m bo‘lgan chiziq uzunligi o‘lchov len- tasida olti marta o‘lchangan. Olingan natijalar 2- jadvalning 2- ustunida keltirilgan. Ular bo‘yicha o‘rtacha (muntazam) xatolikni, ehtimoliy xatolikni va o‘lchov lentasida chiziq o‘lchashning o‘rta kvadratik xatoligini baholash kerak.

Y e ch i sh. Barcha hisoblar jadvalda keltirilgan:

2- jadval

Olchash nomeri	O‘lchashlar natijalari	i, sm	2 i	Àniqlikni baholash
1	125,56	 13	169	O‘rtacha õatolik [D] 37 q = = = 6, 2 sm n 6 Ehtimoliy õatolik: r  5 sm O‘rta kvadratik õatolik: 311 m = = 7, 2 sm. 6
2	49	 6	36
3	39	 4	16
4	38	 5	25
5	44	1	1
6	35	 8	64
	125,43		311

4 8

6. TENG ANIQLIKDA O‘LCHANGAN KATTALIKNING O‘LCHASH NATIJALARINI

MATEMATIK ISHLANISHI
Bir kattalikning teng aniqlikda o‘lchangan natijalari qatori olingan bo‘lsa, ularning matematik ishlanishida quyidagilar hisoblanadi:

1. 
   O‘lchangan kattalikning eng ishonchli bo‘lgan arifmetik o‘rtacha qiymati.
   
2. 
   Ayrim o‘lchashning o‘rta kvadratik xatoligi.
   
3. 
   Arifmetik o‘rtaning o‘rta kvadratik xatoligi.
   

Teng aniqlikli o‘lchashning l₁, l₂, ... l_n natijalaridan arifmetik o‘rtacha qiymat quyidagi formula bo‘yicha hisoblanadi:

_{L =} l₁  l₂  ... l_{n =}

[ l ] _.
(3.11)

n n
Uni hisoblashni osonlashtirish maqsadida o‘lchanayotgan kat- talikning taqribiy l₀ qiymati sifatida l_i o‘lchanganlardan eng kichigi tanlanib, qoldiqlar quyidagi formuladan topiladi:


i 1 0
e = l - l (i = 1, 2, ..., n).

Bu ifodani (3.11) formulaga qo‘yib, ayrim o‘zgarishlar kiritilsa,

L = l₀

[ e ]



+
n
(3.12)

tenglik hosil bo‘ladi va u arifmetik o‘rtacha qiymatni taqribiy qiymatlar orqali hisoblash uchun xizmat qiladi.

O‘lchash natijalarini baholashda haqiqiy xatoliklar kamdan- kam hollarda ma’lum bo‘ladi, shuning uchun ko‘pincha geodezik o‘lchashlar amaliyotida o‘lchash aniqligini baholash uchun Besselning quyidagi formulasi qo‘llaniladi:

(3.13)

1
bunda u _i = l - L — eng ehtimoliy xatoliklar, n - 1 — ortiqcha

o‘lchashlar soni.

Teng aniqlikli o‘lchashlar natijalari arifmetik o‘rtachasining o‘rta kvadratik xatoligi

^M = ^m =
(3.14)

4—O‘.O‘tanov 4 9

formula orqali hisoblanadi, ya’ni arifmetik o‘rtaning o‘rta kvad- ratik xatoligi M o‘lchashning o‘rta kvadratik xatoligi m dan marta kichik bo‘ladi.

(3.13) formuladan topilgan o‘rta kvadratik xatolikning ishonch- liligini baholash uchun quyidagi formula qo‘llaniladi:

m
m_m = ± .
(3.15)

Agar n = 4 bo‘lsa, o‘rta kvadratik xatolikning ishonchliligi

m

m
m = 0,4; n = 8 bo‘lganda esa m = 0,3, bundan n £ 8 bo‘lganda

bajarilgan o‘lchashlar ishonchsiz.

3. 
   jadvalda chiziq uzunligini teng aniqlikda besh marta o‘lchash natijalari bo‘yicha uning eng ehtimoliy qiymati hamda m, m_m va M o‘rta kvadratik xatoliklarini topish masalasini yechilishi namunasi keltirilgan.
   

3- jadval

N	l, m		2	Aniqlikni baholash
1	226,1	-0,2	0,04	[J ^2 ] 0,10 m= = = ± 0,16 m; chekli = 2m= 0, 32 m, n  1 4 m = ^m= ^0,16= ± 0, 04 m; ^m^x= ^0,16= ^1; m 2(n1) 8 L 226,3 1400 M= ±^m= ± ^0,16= ± 0,07 м; 226,0 Ј LЈ 226,6 м. n ^5
2	226,2	-0,1	0,01
3	226,5	+0,2	0,04
4	226,4	+0,1	0,01
5	226,3	0,0	0,0
	226,3	[] 0	0,10

3. 
   jadvalda burchakni teng aniqlikda o‘lchash qatorining ma- tematik ishlanishini o‘tkazish, ya’ni ayrim o‘lchashning arifmetik o‘rtachasini, o‘rta kvadratik xatoligi va arifmetik o‘rtaning o‘rta kvadratik xatoligini topish namunasi keltirilgan.
   

4- jadval

Αlchash N	Αlchash natijasi li					2	
1	125°3615	5		 ^5		25	 25
2	32	22		 1,2		144	 264
3	24	14		 4		16	 56
4	10	0		 10		100	0
5	21	11		 1		1	 11
l0 125°36 10			52		 ^2	286		 306

5 0

L = 125^36^10 ^ +

⁵² = 125^36^20 ^,

5

m= =

8 ^;

M = = 4 ^;

4. 
   jadvalning oxirgi ustuni [u ²] = - [u e] ekanligini tekshirish uchun xizmat qiladi.
   

Ko‘pincha amaliyotda aniqlanayotgan miqdorni nazorat qilish va aniqligini oshirish uchun u ikki martadan o‘lchanadi. Masalan, chiziq to‘g‘ri va teskari yo‘nalishda, nisbiy balandlik ikki gorizont- da yoki ikki tomonlama reykada o‘lchanadi, bularning o‘rtachasi yakuniy qiymat sifatida qabul qilinadi. Bu holda ayrim o‘lchash- ning o‘rta kvadratik xatoligi quyidagi formula bo‘yicha hisob- lanadi:

_{m =} [d² ]_,

2n

(3.16)

bunda: d — miqdorlarning ikki karra o‘lchanishi farqi, n — farq- lar soni, ikki o‘lchash natijalari o‘rtachasining o‘rta kvadratik xa- toligi esa quyidagi formuladan topiladi:

^{M =} . (3.17)
Quyidagi jadvalda bir burchakning o‘rta kvadratik xatoligini teng aniqlikda qo‘sh o‘lchashlar natijalari bo‘yicha topishni hisoblash namunasi keltirilgan.

O‘lchash tartibi	O‘lchashlar		d	d2
	li	li
1	56°1520	56°1536	 16	256
2	142°3851	142°3830	 21	441
3	204°0520	204°0525	 5	25
4	67°2456	67°2456	 6	36
			+6	758

m = = = 10 ^.

2
Chiziq ikki marta o‘lchanib, l = 123,64 m va l = 123,68 m

natijalar olingan bo‘lsin. O‘lchangan chiziqning ehtimoliy qiymati

l = 123,66 m, nisbiy xatolik 0,04/123,66 = 1/3091 bo‘ladi.

5 1

7. O‘LCHANGAN MIQDORLAR FUNKSIYALARI ANIQLIGINI BAHOLASH

Ko‘pincha muhandislik amaliyotida kuzatuvchini qiziqtirayot- gan kattalikni bevosita o‘lchashning imkoni bo‘lmaydi. Bunday hollarda izlanayotgan kattalik bilan funksional bog‘langan biror miqdorlar (argumentlar) o‘lchanib, izlanayotgan funksiya hisob- lanadi.

Agar o‘lchashlarda olingan x₁, x₂, ..., x_n argumentlar o‘zaro bog‘liq bo‘lmasa, m o‘rta kvadratik xatoliklar bilan o‘lchashlardan topilgan


1 2 n
F = f (x , x , ..., x ) (3.18)

funksiya berilgan bo‘lsa, uning o‘rta kvadratik xatoligi m_F quyidagi formula orqali hisoblanadi:

 _f ²

 _f ²

 _f ²

^{m2 =}  

^{m2 +}   ^{m2 + ...+}  

m² ,

(3.19)

^F  _x 

^x1 ^ _x ^{ x}2

^ _x ^{ x}n

 1   2   n 

i
bunda ¶f/¶x — har bir argument bo‘yicha olingan xususiy hosi-

lalar. Ular o‘lchangan x₁, x₂, ..., x_n argumentlar qiymatlaridan foydalanib hisoblanadi.

Demak, umumiy ko‘rinishdagi funksiya o‘rta kvadratik xato- ligining kvadrati har xil argument bo‘yicha olingan xususiy hosila- lar kvadratlarini tegishli argumentlar o‘rta kvadratik xatoliklar kvadratlariga ko‘paytmalarining yig‘indisiga teng.

(3.19) formula o‘lchashlar xatoliklari nazariyasining bilvosita masalasini yechishda keng qo‘llaniladi, bunda argumentlarning o‘lchangan qiymatlari va ularning o‘rta kvadratik xatolaridan foy- dalanib, izlanayotgan funksiya aniqligi baholanadi. Misollar ko‘ramiz.

1. 
   
   ě
   Uchburchakning ikki burchagi m
   

1

= 3² va m

ě
2

= 4² o‘rta

3
kvadratik xatoliklar bilan o‘lchangan bo‘lsa, m_ě

(3.18) formulaga binoan

3 1 2
ě = 1 8 0 - ě - ě

ni topish kerak.

funksiyani tuzamiz, so‘ngra (3.19) formulaga ko‘ra topamiz:

m² = m² + m² = 3²+ 4² = 25, m² = 5 ^.

b₃ b₁ b₂ b₃

5 2

2. 
   
   a
   To‘g‘ri to‘rtburchak tomonlari xaritadan a ± m = 100,0 ±
   

b
± 0,6 m va b ± m

= 200,0 ± 1,0 m aniqlikda o‘lchangan bo‘lsa,

p = ab (3.20)

formula bo‘yicha hisoblangan yuzaning mutloq va nisbiy xato- liklarini topish kerak bo‘lsin. U holda

^p = b;

a

p _{= a}

a

bo‘lganligi uchun, (3.19) formulaga ko‘ra:

p
m = (200,0²•0,6² + 100²•1,0²)^1/2 = 160 m².

3. 
   Nisbiy o‘rta kvadratik xatolikni aniqlash formulasini kelti- rib chiqarish uchun (3.20) formula logarifmlanadi:
   

lg p = lg a + lg b

va uni differensiallab, (3.19) formula asosida quyidagi ko‘rinish- ga keltiriladi:

m

2

m

2

m

p a b

2
_ ^p _{ = } a _{ + } b _
. (3.21)

Bu formulaga misoldagi tegishli argumentlar qiymatlarini qo‘ysak,

ga ega bo‘lamiz.

m_{p =}

p
1

125
yoki m_p =

0,8 p%

4. 
   Agar ufqiy qo‘yilishi s = 143,5 m va qiyalik burchagi
   

s
n = 2°30² tegishlicha m

= 1,0 m va m_n

= 1¢ o‘rta kvadratik xato-

liklar bilan o‘lchangan bo‘lsa, quyidagicha hisoblangan
h = s tg n = 143,5 tg 2°30¢ = 0,36 m


^{h s} 


nisbiy balandlikning o‘rta kvadratik xatoligini topish kerak bo‘lsin. U holda

m²= (tg nm )²+ s  sec²

_n ^mn ₌


2
p

5 3

= (0,5  0,0042)²+

_ 144 _ 1,0^


2



= 0, 0025 m²

yoki

0,99 3438


h
h ± m = 0 , 36 ± 0 , 05 m; 0 , 31 £ h £ 0 , 41 .

4. 
   
   i
   Bajarilishi kerak bo‘lgan o‘lchash aniqligini oldindan ta- yinlash, kerakli aniqlikdagi asboblarni tanlash xatoliklar nazari- yasining teskari masalasini yechishga asoslanadi. Bu masalada (3.18) funksiyaning oshkor ko‘rinishini va uning aniqligi m_F (3.19) ma’lum hisoblanib, har bir x_i argumentni o‘lchash m_x aniqliklarini
   

tanlash talab qilinadi. Berilgan funksiya aniqligiga argumentlar- ning o‘lchash aniqliklari har xil tanlanib olinganda erishish mum- kin bo‘lganligi uchun, teskari masala cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi. Ayrim hollarda bu masalaning eng sodda yechimiga teng ta’sir etish prinsipi asosida erishiladi. Bu prinsipga ko‘ra funksiya aniqligiga hamma qo‘shiluvchilar teng ta’sir etadi deb qabul qilina- di. Masalan, trigonometrik nivelirlashda nisbiy balandlik o‘lchan- gan ufqiy masofa s va qiyalik burchagi n orqali quyidagi formula bo‘yicha hisoblanadi:

h = s tg n. (3.22)

Nisbiy balandlikni m_h = 0,01 m aniqlikda hisoblash uchun

s = 100 m masofa va n = 2° qiyalik burchagi qanday aniqlikda o‘lchanishi kerak?


2 2 2

m

p

2
(3.19) formulaga ko‘ra (3.22) funksiya aniqligi:

m_h = (tg n m_s )

+ _s  sec

_n n _{ .}
(3.23)

Nisbiy balandlikning aniqligiga masofa va qiyalik burchagini o‘lchash aniqligi teng ta’sir etishini shart qilib qo‘ysak,

tg n m_s

^{ sec2 nmn} = ^{mh ;}

p

m = tg n m yoki m = s  sec² n^mn 2.

h s h _p

U holda quyidagi natijaga ega bo‘lamiz:

m_{s =} m_h ctg n ₌ 0,01 m  28,6 ₌ 1 _;

s 1,41 100 m 500

5 4

h
_{m =} m  p  cos² n₌ 0,01 m 3438  0,999² _{= 0,24.}

ⁿ 1,41100 m
Demak, nisbiy balandlikning talab qilingan aniqligiga erishish uchun masofani ipli dalnomerda o‘lchash aniqligi (1:400 dan kichik) yetarli bo‘lmaydi. Burchak esa 15² aniqlikda o‘lchanish kerak. Shu sababli xatoliklar munosabatini o‘zgartirib, ya’ni chi- ziqni o‘lchash aniqligini 2 marta oshirib (1:1000), burchak o‘l- chash aniqligini 2 marta kamaytirsak (m_n = 30²), funksiya xatoligi

(m_h = 0,01 m) o‘zgarmaydi. Bu esa shunday hisobga asoslangan

mulohaza orqali ma’lum aniqlikdagi geodezik asbob tanlash

imkonini beradi, ya’ni masalani yechish uchun masofa po‘lat lentada, burchak esa 30 sekundli teodolitda o‘lchanishi kerak.

8.