Gauss tipidagi kvadratur formulalar va ularning tadbiqi

2.3 Davriy funksiyalarni integrallash.

Bu paragrafda davrli funksiyalarni taqribiy integrallash masalasini ko’ramiz. Bu yerda tabiiyki, kvadratur formulaning aniqlik darajasi algebraik ko’phadga emas, balki trigonometrik ko’phadga nisbatan qaraladi.

Agar ushbu kvadratur formula

(2.3.1)

ixtiyoriy tartibli trigonometrik ko’phadlar uchun aniq bo’lib, birorta - tartibli trigonometrik ko’phad uchun aniq bo’lmasa, u holda bu formulaning trigonometrik aniqlik darajasi (tartibi) ga teng deyiladi.

Teorema. tugunli kvadratur formulalar to’plamida tugunlari oraliqda tekis joylashgan va koeffisentlari o’zaro teng bo’lgan kvadratur formula eng yuqori trigonometrik aniqlik tartibiga ega bo’lib, bu tartib ga teng.

Isbot. Avvalo (2.2.2) ko’rinishdagi ixtiyoriy kvadratur formulaning aniqlik darajasi dan ortmasligini ko’rsatamiz.

Kvadratur formulaning tugun nuqtalaridan foydalanib,

funksiyani tuzaylik. Har bir ko’paytuvchi birinchi tartibli trigonometrik ko’phad bo’lgani uchun, - tartibli ko’phaddir. Bu ko’phad uchun (2.2.2) formula aniq emas, chunki

va

Demak, tugunli kvadratur formulaning trigonometrik aniqlik tartibi dan ortmaydi. Endi ixtiyoriy uchun ushbu

, (2.3.2)

kvadratur formula barcha

funksiyalar uchun aniq ekanini ko’rsatamiz. Buning uchun uning barcha

funksiyalar uchun aniq ekanini ko’rsatish kifoyadir. Agar bo’lsa, bo’lib, (2.2.3) formula aniq ekani ravshandir. Endi bo’lsin. U holda

.

Shu bilan birga kvadratur yigindi ham nolga teng:

Shunday qilib, (2.2.3) formulaning trigonometrik aniqlik tartibi ga teng ekan.

Ixtiyoriy uchun

, (2.3.3)

kvadratur formulaning - tartibli ixtiyoriy

trigonometrik ko’phad uchun aniq tenglikka aylanishini ko’rsatish qiyin emas.

Misol sifatida ushbu

to’liq elliptik integralning dagi qiymatini to’rt xona aniqlikda hisoblaylik. Integral ostidagi funksiya juft va davrli bo’lganligi sababli ni

ko’rinishda yozish mumkin. Bu integralni hisoblash uchun (2.2.5) da deb olamiz. Endi deb olib, tugunlarni nuqtaga nisbatan simmetrik ravishda joylashtiramiz:

U holda

ning jadvaldagi qiymati 1,6858. Demak, xato 0,0042 ga teng.