Gauss tipidagi kvadratur formulalar va ularning tadbiqi

2.4. Effektiv kvadratur formulalar haqida.

Amaliy analizning ko’pgina masalalari differensial tenglamalar orqali aniqlanadi. Agar bunday funksiyalarni integrallash kerak bo’lsa, u holda faqat oraliqning chetki nuqtalarida funksiya va uning hosilalarining qiymatlaridan foydalanish maqsadga muvofiq deb hisoblanadiki, agar chetki nuqtalarda chegaraviy nuqtalarni biz bilsak, ketma-ket hosilalarning qiymatlarini funksiyani aniqlovchi differensial tenglamalardan osongina hisoblashimiz mumkin. Shuning uchun bizning asosiy maqsadimiz shundan iboratki, effektiv kvadratur formulalarni hosil qilish uchun biz ichki ordinatalardan emas, balkim chegaraviy ordinatalardan va bu nuqtalarda hosilalarning qiymatlaridan foydalanamiz. Bunday formulalar aniqlikni oshirish uchun emas, balki integrallarni hisoblash uchun chegaraviy axborotlardan foydalaniladi. Quyidagi teoremani isbotlaymiz.

Teorema. Agar ikkita va funksiyalar oraliqda aniqlangan, uzluksiz va -tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo’lsa, u holda quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi:

, (2.4.1)

bu yerda,

(2.4.2)

va -hosila tartibi.

Isbot: Har bir va funksiyalar oraliqda differensiallanuvchi va undan tashqari bu oraliqda funksiya uchun boshlang’ich funksiya mavjud bo’lsin. U holda oraliqda funksiya uchun boshlang’ich funksiya mavjud bo’lib , bo’laklab integrallash formulalari o’rinlidir. Ya’ni

, (2.4.3)

yoki boshqacha yozsak

, (2.4.4)

Shunday qilib (2.4.1) formulaning o’ng tomoni uchun (2.4.4) formulani m marta qo’llasak quyidagiga ega bo’lamiz:

(2.4.5)

Bundan esa quyidagini olamiz:

, (2.4.6)

va teorema shu bilan isbotlanadi.

(2.4.1) formuladan biz quyidagicha foydalanamiz. Integrallash oralig’ini oraliqgacha normallaymiz. Ya’ni quyidagi belgilashlarni kiritamiz.

,

(2.4.7)

Bu yerda

, (2.4.8)

ko’phadni erkin tanlaymiz. va funksiyalarni bunday tanlashlar natijasida (2.4.1) formulani quyidagi ko’rinishda yozilishi mumkin.

, (2.4.9)

bu yerda - quyidagi aniq integralni bildiradi:

, (2.4.10)

(2.4.7) formulani biz quyidagicha tushunamiz va u shundan iboratki oraliqning chetki nuqtalarida egri chiziqning chegaraviy qiymatlari va hosilalarining qiymatlari uchun tegishli yuzani hisoblaydigan kvadratur formulani ifodalaydi.

, (2.4.11)

Shu vaqtda (2.4.7) formuladagi qiymat kvadratur formulaning qoldig’ini tasvirlaydi.

Shunday qilib biz funksiya va uning hosilalarining chegaraviy qiymatlarida hisoblanadigan kvadratur formulalar va uning qoldiq hadiga ega bo’ldik.

Effektiv kvadratur formula qurish metodidagi teoremaga asosan ya’ni,

, (2.4.12)

formuladan quyidagicha foydalanamiz oraliqni gacha normallaymiz va undan tashqari,

, (2.4.13)

bu yerda

, (2.4.14)

belgilarni kiritsak,

, (2.4.15)

bu yerda

. (2.4.16)

tengliklarga ega bo’lamiz. (2.4.15) formulani biz qoldiq hadi (2.4.16) iborat bo’lgan vaznli effektiv kvadratur formula deb ataymiz.

Endi biz shu qoldiq hadga e’tiborni qaratamiz va quyidagi teorema o’rinlidir:

Teorema 2. (2.4.12) ko’rinishdagi vaznli effektiv kvadratur formula qoldiq hadi uchun quyidagi tenglik o’rinlidir.

, (2.4.17)

bu yerda

Isbot. funksiya sifatida biz Gauss kvadratur formulasini aniqlik darajasini gacha ta’minlaydigan Lagranj ko’phadlaridan foydalangan, ya’ni

. (2.4.18)

Uning oraliqdagi ba’zi bir ajoyib xossalariga asosan uni

(2.4.19)

ko’rinishda yoza olamiz.

Agar biz (2.4.1) da quyidagi almashtirishlarni bajarsak, ya’ni ni va ni bilan akslantirsak, u holda biz

tengliklarga ega bo’lamiz, shu bilan teorema isbotlandi.