Garmonikaliq funktsiyalardiń integralliq kórinisi hám orta mánisi haqqindaģi teorema

16-lekciya
Orta mánis haqqındaġı teorema. Ekstremum printsipi hám onnan kelip shıġatuġın nátiyjeler. Kelvin túrlendiriwi
Reje:

Garmonikaliq funktsiyalardiń integralliq kórinisi hám orta mánisi haqqindaģi teorema. Garmonikaliq funktsiyalardiń qásiyetleri.Maksimum printsipi

Garmonikaliq funktsiyalardiń integralliq kórinisi hám orta mánisi haqqindaģi teorema. Birinshi Grin formulası

kóriniske iye bolıp, hám lardıń orınların ózgertsek

boladı, bul jerde kólem elementi, bolsa oblastıń betine júrgizilgen normal baġıtındaġı tuwındı.
Bulardıń birinshisinen ekinshisin alsaq
(2)
túrindegi ekinshi Grin formulasına iye bolamız.
Teorema 1. Eger funktsiyasi tegis beti menen shegaralanġan tuyiq oblastta birinshi hám ekinshi tartipli úzliksiz dara tuwindilarģa iye bolsa, onda
(3)
formulasi orinli boladi, bul jerde degenimiz fiksirlengen tochkası menen erikli tochkaları arasındaġı aralıq, bolsa oblasttiń betine júrgizilgen sirtqi normal. Bul formula funktsiyasiniń integral kórinisin beredi. Eger funktsiyasi garmonikaliq bolsa, onda bolip, (3) formula
(4)
túrine iye boladi. Bul formula garmonikaliq funktsiyaniń ishki tochkadaģi mánisin esaplawģa múmkinshilik beredi.
Dálillew. Bul jerde (3) formulanıń kelip shıġıwın dálilleymiz. tochkadadan basqa jerde garmonikalıq bolġan funkciyasın paydalanamız. Bul funkciya tochkada anıqlanbaġanlıqtan bul tochkanı óz ishine alatuġın kishkene, aytayıq radiusı ġa teń bolġan shar menen bolatuġınday etip qaplaymız. Bul shardıń betin dep belgileymiz. Sonda funkciyası oblastında garmonikalıq boladı hám sonıń menen birge . Endi (2) Grin formulasın hám funkciyalarına oblastında qollansaq
(5)
boladı. sferanıń ishki tárepine júrgizilgen normal radius boylap sfera orayına baġıtlanġan Sonlıqtan baġıt boylap alınġan tuwındı ushın

bolıp,
,
betlik integrallarına sfera betinde ekenligin paydalanġan halda orta mánis haqqındaġı teoremanı qollansaq


boladı, bul jerde hám ler sfera betindegi tochkalar. hám lerdiń bul mánislerin (5) degi orınlarına qoyıp, (5) ni
(6)
Endi (6) dan shegin alsaq, onda (3) formula kelip shıġadı.


Garmonikaliq funktsiyalardiń qásiyetleri. Maksimum printsipi.
Teorema 2.(Gaustıń integrallıq teoreması). Eger funkciyası tegis beti menen shegaralanġan tuyiq oblastta garmonikalıq funkciya bolsa, onda
(7)
teńligi orınlı boladı, bul jerde degenimiz tolıġı menen oblastta jatatuġın tuyıq bet.
Dálillew. (2) ge garmonikalıq funkciyanı hám di qoysaq (7) formula kelip shıġadı.
Teorema 3. (Orta mánis haqqındaġı teorema). Shardiń orayinda garmonikaliq funktsiyaniń mánisi usi shardiń betindegi mánislariniń orta arifmetikaliq mánisine teń boladi, yaģniy
(8)
Dálillew. (3) formulanı orayı tochkada radiusı ġa teń bolġan sharġa qollanamız:

bul jerde shar beti. Shar betinde orınlı bolatuġın teńligin hám (7) formulanı paydalansaq (8) formula kelip shıġadı.
Orta mánis haqqındaġı teoremadan kelip shıġatuġın saldarlar.
Saldar 1.Tuyiq oblastta garmonikaliq, al shegara betinde bir-birine teń bolatuģin eki garmonikaliq funktsiya oblasttiń hámme tochkalarinda bir-birine teń boladi.
Saldar 2. Eger funkciyası tuyiq oblastta úzliksiz, al da bolsa garmonikaliq, al shegara betinde nolge teń bolsa, onda bul funkciya oblastta nolge teń boladi.
Saldar 3. Eger hám funkciyaları tuyiq oblastta úzliksiz, al da bolsa garmonikaliq funkciyalar bolıp, shegara betinde bolsa, onda bul funkciya oblastta boladi.
Teorema 4. (Maksimum mánis principi). Eger turaqlı emes funktsiyasi oblast ishinde garmonikaliq funktsiya bolıp, da úzliksiz bolsa, onda ol óziniń eń úlken yamasa eń kishi mánislerine usi oblasttiń shegara tochkalarinda erisedi.
Dálillew. Teoremanı qarama qarsı funkciyası óziniń eń úlken mánisine oblast ishindegi tochkada erissin, yaġnıy barlıq ushın

bolsın dep uyġarıp dálilleymiz hám bul jaġdayda bolatuġınlıġın kórsetemiz. Usı maqsette orayı tochkada, radiusı ge teń bolġan hám oblasttiń ishinde tolıġı menen jatatuġın sharın júrgizemiz. Onda garmonikalıq funkciyanıń qásiyeti boyınsha boladı. Meyli bul orınlanbasın, yaġnıy keminde sonıńday bir tochka tabılıp, bul tochkada
(9)
bolsın. Funkciyanıń úzliksizligi boyınsha bul teńsizlik sharınıń betindegi bazı bir bóleginde orınlı boladı, yaġnıy
.
Arifmetikalıq orta mánis haqqındaġı teorema 3 boyınsha
(10)
al ekinshi tárepten (9) hám (10) boyınsha
(11)
Bundaġı teńsizlik belgisi orınlı, sebebi betindegi bazı bir bóleginde funkciyası dan qatań kishi.
(10) hám (11) qatnaslar bir birine qarama qarsı. Sonlıqtan orta mánis haqqındaġı teorema orınlanbay qarama qarsılıqqa ushıraymız. Bul teoremanıń durıslıġın kórsetedi.