Gamilton tenglamasi. Kanonik tenglamalar. Gamilton funksiyasi. Dinamikaning Gamilton shakli. Gamiltonning kanonik tenglamalari

Gamilton tenglamasi. Kanonik tenglamalar. Gamilton funksiyasi. Dinamikaning Gamilton shakli. Gamiltonning kanonik tenglamalari

Bajardi: Raximboyeva M

Qabul qildi: Srajatdinova F

REJA:

• Gamilton funksiyasi
• Gamilton tenglamasi
• Kanonik tenglamalar
• Dinamikaning Gamilton shakli
• Gamiltonning kanonik tenglamalari

Gamilton funksiyasi. Gamilton tenglamasi. Kanonik tenglamalar

Biz har qanday mexanik sistemani harakat qonunlarini aniqlashda Logranch funksiyasidan foydalangan holda Logranch tenglamasidan yechar edik. Bu tenglama esa eng kichik ta’sir prinsipi asosida kelib chiqqan umumlashgan koordinataga bog’liq bo’lgan ikkinchi tartibli differensial tenglama deyiladi.
Bu tenglama vaqtga bog’liq bo’lgan tenglama. Mexanik sistemalarni harakat qonunlari faqat Logranch tenglamalari yordamida yechilmaydi. Bu ifodaga kelish uchun bir qancha almashtirishlar bajariladi.Bu almashtirishlarga Logranch almashtirishlari deyiladi.
Harakat qonunlarini aniqlashni boshqa usullari ham mavjud bo’lib shulardan biri Gamilton metodidir. Bu metodga ko’ra mexanik sistemaning xolati umumlashgan koordinata va umumlashgan impuls orqali ifodalaniladigan funksiya orqali qaraladi.
Bu funksiyani quyidagicha ko’rinishda belgilaymiz.
(1)
Bu (1) ifoda Gamilton funksiyasining umumiy ko’rinishi. Endi Gamilton funksiyasini istalgan bir mexanik sistema uchun ko’rinishini topaylik. Buning uchun vaqtning bir jinsliligidan foydalanib Logranch funksiyasini yozamiz.
(2)
va bu funksiyadan to’liq differensial olamiz.va (2) ifodani quyidagicha yozamiz.
Bu ifodani (1) va (2) xadi quyidagicha ifodalanishini e’tiborga olsak.
(3)
(4)
(3) ifodani (4) ifoda orqali quyidagicha yozamiz.
Yuqorodagi (4) ifoda Eyler-Logranch tenglamalari deyiladi.
(5)
(5) ifodadagi
(6)
Ifodani quyidagicha yozish mumkin
(1) ifodani (5) ifodaga qo’yamiz va quyidagicha yozamiz.
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(11) ifodani o’ng tomonidan ko’rinib turibdiki umumlashgan koordinata va umumlashgan impulslarga bog’liq bo’lgan funksiya Tenglamaning chap tomoni esa to’liq energiyani ifodalaydi.Bu ifodani quyidagicha belgilab olamiz.
Bu ifoda Gamilton funksiyasi deyiladi. Bu ifodaga kelish uchun bir qancha almashtirishlar bajariladi.Bu almashtirishlarga Logranch almashtirishlari deyiladi.
(12) ifodani quyidagicha belgilashlar orqali tenglamalarni bir-biri bilan taqqoslaymiz.
(12)
(13)
(14)
(13) va (14) ni taqqoslab (15) ifoda kelib chiqadi.
(15) ifoda Gamilton tenglamalari deyiladi.
Bu ifoda birinchi tartibli xususiy xosilali differensial tenglamasidir.
(15) ifoda bir-biriga nisbatan simmetrik tenglama bo’lganligi uchun bu Gamilton tenglamani kanonik tenglamalar deyiladi.
(15)
Gamilton funksiyasi vaqtga ochiqdan-ochiq bog’liq bo’lmaganligi uchun uning vaqt bo’yicha xosilasi nolga teng bo’ladi.
Demak,Gamilton funksiyasi harakat integrali ekan,ya’ni Gamilton funksiyasi to’liq energiya funksiyasi ekan.
Bu degani energiyani saqlanish qonunini bildiradi.

Dinamikaning Gamilton shakli

Lagranj tenglamalari bunday tanlab olishga bog’liq bo’lmaydi, shuning uchun bu tenglamalar , koordinatalardan istalgan o’zaro bog’liq bo’lmagan , Q1, Q2 koordinatalarga o’tishga nisbatan invariant bo’ladi. Yangi Q koordinatalar eski q koordinatalar funksiyasi hisoblanadi. Faraz qilaylikki, Q koordinatalar, shuningdek vaqtning ham funksiyasi hisoblansin, ya’ni
Umumlashgan koordinatalarni tanlab olish biror shart bilan chegaralangan bo’lmaydi – istalgan S ta koordinatalar sistemaning fazodagi holatini bir
qiymatli ravishda aniqlab beradi.
Lagranj tenglamalari kabi Gamilton tenglamalari ham bu almashtirishlarga nisbatan o’z ko’rinishlarini o’zgartirmaydi. endi bu yerda almashtirishlarga o’zaro bog’liq bo’lmagan R o’zgaruvchilarni ham kiritish lozim bo’ladi:
Shuni aytish kerakki, almashtirishi ixtiyoriy ko’rinishida harakat teglamalarining o’z ko’rinishini o’zgartirmay qolaveradi. Bu prinsipga ko’ra Lagranj tenglamalari kabi Gamilton tenglamalari ham kelib chiqadi.

Xulosa

Lagranj funksiyasi koordinatalar va tezliklar orqali ifodalanadi. Shunday sistemalar mavjudki ularda umumlashgan koordinatalar va impulslar orqali ifodalanishi qulay bo‘ladi. Shuning uchun harakat qonunlarini bu koordinatalardagi ifodalarini topish talab etiladi. Shu sababdan ham harakat qonunlarini aniqlashni boshqa usullarini ko’rib chiqdik.

E’TIBORINGIZ UCHUN RAHMAT