Funksiyaning uzluksizligi

Murakkab funksiyaning differensiali. Differensial shaklining invariantligi
Murakkab funksiya differensialini topamiz va uni erkli argumentning funksiyasi differensiali bilan taqqoslaymiz.
funksiya u erkli argumentning differensiallanuvchi funkdiyasi bo‘lsin, u holda
(1)
ga ega bo‘lamiz, bunda
Endi oraliq argument u ning differensiallanuvchi funksiyasi bo‘lsin, bunda murakkab funksiya xosilasini hisoblaymiz:
(2)
Ammo , shu sababli murakkab funkiiya differensiali ushbu ko‘rinishni oladi:
(3)
Bunda _.
Differensialning ikkala ifodasini taqqoslash uning shakli o‘zgarmasligini (invariantligini) ko‘rsatadi, ya’ni funksiyaning argumenti boshqa argumentning oraliq funksiyasi bo‘lishn yoki erklli o‘zgaruvchi bo‘lishiga bog‘liq bo‘lmagan holda bir xil shaklni qabul qiladi.
Bu xossa (2) ko‘rinishidagi yozuv uzundan-uzoq va shu sababli har xil amallarni bajarish uchun noqulay bo‘lganda differensiyalning (3) ko‘rinishidagi yozuviga murojaat qilish imkonini beradi.
1-misol. funksiya uchun differensial bo‘ladi, ammo
yozuvdan ham foydalanish mumkin.
2-misol. funksiya uchun diferensial bo‘ladi, ammo yozuvdan ham foydalanish mumkin.
3-misol. funksiya uchun differensial bo‘ladi, ammo

yozuvdan ham foydalanish mumkin.
Differensnal ko‘rinishining invariantligidan integrallash amallarida bevosita foydalaniladi.
Taqribiy hisoblashlarda differensialdan foydalanish
(2) tenglikka qaytamiz:
bunda (shu bilan birga da ), ekanligini hisobga olsak, ushbu tenglikka ega bo‘lamiz:
(1)
Funkiiyaning orttirmasi va funksiyaning differensiali ekvivalent cheksiz kichik miqdorlar ekanini isbotlaymiz. Buning uchun deb ular nisbatlarining limitini hisoblaymiz:

— chekli son bo‘lgank uchun da . SHunday qilib, , demak, va du taqriban teng ifodalar deb hisoblash mumkin, ya’ni
(2)
(1) tenglikdan ular bir-biridan va dy larga nisbatan yuqoriroq darajali cheksiz kichik miqdor ga qadar farq qilishi kelib chiqadi.
(2) taqribiy tenglik ning qiymati qancha kichik bo‘lsa,
shuncha kichik xato beradi, chunki bu xato ning qiymatn bilan
aniqlanadi. SHu bilan birga dy differeitsialni hisoblash amali
orttirmani hisoblashga qaraganda ancha osondir.
1-misol. Kubning uzunligi 30 sm bo‘lgan qirrasi 0.1 sm orttirildi. SHu kub hajmpnpng qanchalik o‘zgarganini topish talab qilinadi.
Kub qirrasini x bilan belgilaymiz, u holda kub hajmi uchun formulaga egamiz.
Agar qirraning o‘zgarish miqdorini bilan belgilasak, u holda kub hajmining o‘zgarish miqdori funksiya orttirmasi sifatida aniqlanadi:
(3)
Agar bu o‘zgarnshning mikdorini aniqlash uchun bernlgan funksiya differensiali
(4)
olinadigan bo‘lsa, u holda biz hajmning xaqiqiy hajmi o‘zgarishiga nisbatan xatoga yo‘l qo‘yamiz. Berilgan qiymatlarini differensialning (4) ifodasiga qo‘yib, kub hajmi o‘zgarishining takribiy qiymatini aniqlaymiz:

Hajm o‘zgarishpning haqiqiy qiymati funksiya orttirmasining (3) ifodasidan aniqlanadi:
.
SHunday qilib, hajmining o‘zgarishini aniqlash uchun differensiyadan foydalanishda yuz beradigan xato . Bu xato 1 sm³ dan ham kichik. Bu xatoni hisobga olmasa ham bo‘ladi, chunki bu xato hajm haqiqiy o‘zgarishining 0,4 foizidan kam.
Differensial yordamida taqribiy hisoblashlar funksiya qiymatlarinnng o‘zgarishini (orttirmasini) izlash bilan cheklanmaydi. (2) taqribiy tenglikka qaytamiz: _.
Uni yoyib quyidagicha yozish mumkin yoki
Bu takribiy tenglik amalda ushbu masalani echishda qo‘llaniladi: agar ga x ma’lum bo‘lsa, taqribiy qiymatni hisoblash, ya’ni funksiyaning x nuqtadagi qiymatini bilgan xolda funksiyaning nuqtadagi qiymatini taqribiy hisoblash mumkin. Bu qiymat qancha kichik bo‘lsa, shuncha aniq bo‘ladi, ya’ni ga qancha yaqin bo‘lsa, shuncha aniq bo‘ladi. Bir nechta misol qaraymiz.
2-misol. bo‘lsin. yoki ga egamiz. Demak, Bu formulada deb olamiz, u holda
(5)
Xususiy holda, agar x=1 bo‘lsa, (5) formula ushbu ko‘rinishni oladi:
(6)
(5) formulani ning taqribiy qiymatini hisoblashga
tatbiq qilamiz. Bu formulada deb, ushbuga ega bo‘lamiz:

(6) formulani ning takribiy kiymatini topishga qo‘llaymiz. Bu formulada deb olsak, ushbuga ega bo‘lamiz:

3-misol. bo‘lsnn. U holda ga egamiz. Demak, . Bu formulada deb olamiz, u holda:
(7)
Xususiy holda, agar x=0 bo‘lsa, (7) formula ushbu ko‘rinishni oladi:
(8)
(8) formulani ° ni hisoblashga qo‘llaymiz. li burchakka to‘g‘ri keladi), li burchakka to‘g‘ri keladi) deb olib, ushbuga ega bo‘lamiz:

(8) formulani kichik larda qo‘llash mumkin, masalan, _.
4-misol. bo‘lsin; ga egamiz. Demak, . Bu formulada deb olamiz, u holda:
(9)
Xususan, agar bo‘lsa, u holda (9) formula ushbu ko‘rinishni oladi:
(10)
(9) formulani ln762 ni hisoblashga qo‘llaymiz. x=781,
deb olamiz, u xolda
(10) formula kichik larda qo‘llaniladi, masalan, _.
Taqribiy formulalar (5 — 10) ning hammasida kichik miqdordir.