Funksiyaning uzluksizligi. Elementar funksiyalar uzluksizligi

Funksiyaning uzluksizligi. Elementar funksiyalar uzluksizligi.

Uzluksizlik matematik tahlilning asosiy tushunchalaridan biridir. Matematika uzluksiz funksiya tushunchasiga birinchi navbatda turli harakat qonunlarini o’rganish natijasida keldi. Fazo va vaqt uzluksiz, masalan: harakatdagi nuqtaning bosib o’tgan yo’li s ning t vaqtga 12 bog’lanishini ifodalovchi s = f (t) qonun uzluksiz funksiyaga misol bo’ladi. Qattiq jismlar, suyuqlik va gazlardagi holatlar hamda jarayonlar uzluksiz funksiyalar yordamida tavsiflanadi. Bunday uzluksiz jarayonlar iqtisodiyot modellarida ham mavjud.

Bunday jarayonlar mexanika fizika va bir qancha maxsus fanlarda muayyan holda o’rganiladi. Matematikada uzluksiz jarayonni umumiy holda o’rganamiz. Funksiya orttirmasi. y = f (x) funksiya biror [a , b] kesmada aniqlangan va 0 x shu kesmadagi biror nuqta bo’lsin. x argumentning keyingi qiymati bo’lsa, x − x = ∆x 0 ga argument orttirmasi deyiladi

Funksiya uzluksizligi ta’riflari. 1-ta’rif. y = f (x) funksiya 0 x nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan bo’lib, argumentning 0 x nuqtadagi cheksiz kichik orttirmasiga funksiyaning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelsa, ya’ni lim lim [ ( 0 ) ( 0 )] 0 0 0 ∆ = + ∆ − = ∆ → ∆ → y f x x f x x x bo’lsa, y = f (x) funksiya 0 x nuqtada uzluksiz deyiladi . Bu ta’rifga qo’yidagi ta’rif ham teng kuchlidir. 2-ta’rif. 0 x nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan y = f (x) funksiya shu nuqtada chekli limitga ega bo’lib, bu limit funksiyaning 0 x nuqtadagi qiymatiga teng, ya’ni lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x

• x = → bo’lsa, y = f (x) funksiya 0 x nuqtada uzluksiz deyiladi. 2-misol. 3 y = x funksiyaning x0 = 2 nuqtada uzluksizligini tekshiring. Yechish. Ma’lumki, 3 y = x funksiya x0 = 2 nuqtada va uning istalgan atrofida aniqlangan. Uzluksizlikni 1-ta’rifga asosan tekshiramiz. Buning uchun x0 = 2 nuqtadagi funksiya orttirmasini topamiz: argument orttirmasi ∆x →0 ga intilganda limitga o’tamiz. lim lim 12( 6 ) 12 0 6 0 0 0 2 3 2 3 0 0 ∆ = ∆⋅ + ∆ + ∆ = ⋅ + ⋅ + = ∆ → ∆ → у x x x x x . Shunday qilib, ∆x → 0 da x0 = 2 nuqtada lim 0 0 ∆ = ∆ → y x , bu esa 1- ta’rifga asosan funksiya uzluksiz ekanligini bildiradi. Bu misolda 0 x nuqta o’rniga ixtiyoriy nuqtani olish mumkin(masalan, 3 x0 = uchun uzluksizlikni tekshiring).

Funksiya uzluksizligi shartlari. Funksiya uzluksizligi ta’riflari quyidagi shartlarni o’z ichiga oladi: 1) funksiya 0 x nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan; 1. funksiyaning 0 x nuqtadagi chap va o’ng limitlari lim ( ), lim ( ) 0 0 0 0 f x f x x→x − x→x + mavjud; 3) 0 x nuqtada chap va o’ng limitlar o’zaro teng, ya’ni lim ( ) lim ( ); 0 0 0 0 f x f x x→x − x→x + = 3 2 2 3 3 2 3 3 3 3 0 3 0 0 0 2 3 2 3 2 2 12 6 ( ) ( ) ( ) 2( ) 2 x x x x x x y f x x f x x x x x + ⋅ ⋅ ∆ + ⋅ ⋅ ∆ + ∆ − = ∆ + ∆ + ∆ ∆ = + ∆ − = + ∆ − = + ∆ − = 14 4) chap va o’ng limitlar funksiyaning 0 x nuqtadagi qiymatiga teng, ya’ni lim ( ) lim ( ) ( ) 0 0 0 0 0 f x f x f x x x x x = = → − → + .

Funksiyaning oraliqda uzluksizligi. Funksiya oraliqning hamma nuqtalarida uzluksiz bo’lsa, u shu oraliqda uzluksiz deyiladi. 2-misolda 3 y = x funksiya (−∞, + ∞) oraliqning hamma nuqtalarida uzluksizligi ravshan. Demak, 3 y = x funksiya (−∞, + ∞) oraliqda uzluksiz funksiyadir. Elementar funksiyalarning hammasi o’zlarining aniqlanish sohalarida uzluksizdir. f (x) va ϕ(x) funksiyalar 0 x nuqtada uzluksiz bo’lsa: 1) f (x) ±ϕ(x); 2) f (x)⋅ϕ(x); 3) f (x)/ϕ(x) (ϕ(x0 ) ≠ 0 bo’lganda) lar ham 0 x nuqtada uzluksiz bo’ladi.

• Kesmada uzluksiz funksiyaning xossalari. f (x) funksiya [a , b] kesmada uzluksiz bo’lsa, u: 1) shu kesmada chegaralangan; 2) shu kesmada eng kichik va eng katta qiymatlarga erishadi; 3) kesmaning uchlarida turli ishorali qiymatlar qabul qilsa, shu kesmaning biror nuqtasida 0 ga teng bo’ladi; 4) f(a) va f (b) orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi. y = f (z)va z = ϕ(x) funksiyalar o’z argumentlarining uzluksiz funksiyalari bo’lsa, y = f [ϕ(x)] murakkab funksiya ham uzluksiz bo’ladi. y = f (x) uzluksiz bo’lib, x = ϕ( у) teskari funksiya mavjud bo’lsa, u ham uzluksizdir.