Funksiyaning limiti va uning xossalari Reja: Limitlar haqida asosiy teoremalar Birinchi ajoyib limit

1 - teorema. Agar

A - chekli son bo’lsa, u holda y=f(x) a ning biror atrofida chegaralangandir.
Bir tomonlama limitlar.
4-ta’rif. Agar y=f(x) ning a gi yoki x  a dagi limiti ta’rifida x o‘zgaruvchi a dan kichik (ya’ni x < a) bo’lganiсha qolsa, u holda funksiyaning A1 limiti funksiyaning x = a dagi (yoki x  a - 0 dagi) chap tomonlama limiti deb ataladi.
Demak, har bir ε>0 son uchun shunday δ>0 mavjud bo’lsaki, 0< a – x < δ ni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun | f(x) - A1| < ε k bajarilsa, A1 son f(x) ning x = a dagi (yoki x a - 0 dagi) chap tomonlama limiti deb ataladi. f(x) ning x = a dagi chap tomonlama limiti bunday belgilanadi:
5-ta’rif. Agar y=f(x) ning x=a dagi yoki
x →a dagi limitidagi ta’rifida x o’zgaruvchi a dan katta (ya’ni x >a) bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning A2 limiti x = a dagi (yoki x→a+0 dagi) o’ng tomonlama limiti deb ataladi.
y=f(x) ning x=a dagi chap va o’ng tomonlama limitlari bir tomonlama limitlar deb ataladi.
Bunga teskari da’vo ham o’rinli.
Demak, y=f(x) ning x=a dagi bir tomonlama limitlari mavjud va ular o’zaro teng, ya’ni f(a-0) = f(a+0) bo’lganda va faqat shundagina bu funksiya а da limitga ega bo’ladi.
Cheksiz katta funksiyalar
6-ta’rif. Аgar y=f(x) x=a ning biror atrofida aniqlangan va istalgan M>0 son uchun shunday δ>0 son mavjud bo’lsaki, |x-a|<δ ni qanoatlantiradigan barcha x≠a lar uchun |f(x)|>M bajarilsa, x→a da f(x) cheksizlikka intiladi deb ataladi va bu quydagicha yoziladi:
7-ta’rif. Agar f(x) barcha x lar uchun aniqlangan bo’lib, istalgan M>0 son uchun shunday N>0 topilsaki |x|>N ni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun |f(x)|>M bajarilsa, f(x)
x → ∞ da cheksizlikka intiladi deyiladi.
Аgar x → ∞ dа f(x) cheksizlikka intilsa bu quydagicha yoziladi:
12-ta’rif. Аgar bo’lsa, u holda funksiya
8-ta’rif. Аgar
bo’lsa, u holda f(x) 𝑥 → 𝑎 da (yoki 𝑥 → ∞ da) cheksiz katta funksiya deb ataladi.
Bu ta’rifdan ko’rinadiki, аgar f(x) cheksiz katta funksiya bo’lsa, u holda istalgan M>0 uchun shunday δ>0 topiladiki, |x-a|< δ ni qanoatlantiradigan barcha x lar uchun |f(x)|>M bajariladi. Bundan cheksiz katta funksiya chegaralanmagan funksiya ekani kelib chiqadi.
Cheksiz kichik funksiyalar va ularning cheksiz katta funksiyalar bilan bog’liqligi
9-ta’rif. Аgar bo’lsa,
f(x) 𝑥 → 𝑎 da (yoki 𝑥 → ∞ da) chekzis kichik funksiya deyiladi.
2-teoremа. 1) Аgar y=f(x) 𝑥 → 𝑎 da ( 𝑥 → ∞ da) cheksiz kichik funksiya bo’lsa, u holda 1/f(x) 𝑥 → 𝑎 da ( 𝑥 → ∞ da) cheksiz katta funksiyadir.
2) Аgar g(x) 𝑥 → 𝑎 da (yoki 𝑥 → ∞ da) cheksiz katta funksiya bo’lsa, u holda 1/g(x) 𝑥 → 𝑎 da (yoki 𝑥 → ∞ da) cheksiz kichik funksiyadir.
4. Chekli sondagi cheksiz kichik funksiyalarining algebraik yig’indisi
1-teorema. Chekli sondagi cheksiz kichik funksiyalarning algebraik yig’indisi cheksiz kichik funksiyadir.
2-teorema. Cheksiz kichik funksiyaning chegaralangan funksiyaga ko’paytmasi cheksiz kichik funksiyadir.
3-teorema. Cheksiz kichik funksiyalarning ko’paytmasi cheksiz kichik funksiyadir.
4-teorema. Cheksiz kichik funksiyaning noldan farqli limitga ega bo’lgan funksiyaga bo’linmasi cheksiz kichik funksiyadir.
5-teorema. 1) Аgar f(x) x→a da limitga ega bo’lsa, u holda uni bu limitga teng o’zgarmas son va cheksiz kichik funksiya yig’indisi ko’rinishda ifodalash mumkin.
2) Аgar y=f(x) o’zgarmas son bilan va x → a da cheksiz kichik funksiyaning yig’indisi ko’rinishda ifodalash mumkin bo’lsa, u holda o’zgarmas qo’shiluvchi bu funksiyaning
x → a dagi limiti bo’ladi.